Математический анализ Примеры

$\int 4 \tan^{3} (x) d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \tan^{3} (x) d x$

Этап 2

Вынесем $\tan^{2} (x)$ за скобки.

$4 \int \tan^{2} (x) \tan (x) d x$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (x)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$4 \int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \int - 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$4 (\int - 1 \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (- \int \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

Этап 7

Интеграл $\tan (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) |)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

Этап 8

Пусть $u = \sec (x)$ . Тогда $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = \sec (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 8.1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int u d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{u^{2}}{2} + C)$

Этап 10.2

Упростим.

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} u^{2}) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (x)) + C$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sec^{2} (x)$ .

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{\sec^{2} (x)}{2}) + C$

Этап 12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (- \ln (| \sec (x) |)) + 4 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Этап 12.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 4 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Этап 12.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 (2) \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Этап 12.4.2

Сократим общий множитель.

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 \cdot 2 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Этап 12.4.3

Перепишем это выражение.

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 \sec^{2} (x) + C$