Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{\sqrt{12 x - x^{2}}} d x$

Этап 1

Вынесем множитель $x$ из $12 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $12 x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 12 - x^{2}}} d x$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 12 + x (- x)}} d x$

Этап 1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 12 + x (- x)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x (12 - x)}} d x$

Этап 2

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot 12 + x (- x)$

Этап 2.1.2

Перенесем $12$ влево от $x$ .

$12 \cdot x + x (- x)$

Этап 2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 \cdot x - x \cdot x$

Этап 2.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$12 x - (x \cdot x)$

Этап 2.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$12 x - x^{2}$

Этап 2.1.5

Изменим порядок $12 x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 12 x$

Этап 2.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 12$

$c = 0$

Этап 2.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.4.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{6}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 6$

Этап 2.4.2.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$d = - 6$

Этап 2.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 4}$

Этап 2.5.2.1.3

Разделим $144$ на $- 4$ .

$e = 0 - - 36$

Этап 2.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Этап 2.5.2.2

Добавим $0$ и $36$ .

$e = 36$

Этап 2.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x - 6)}^{2} + 36$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - 6)}^{2} + 36}} d x$

Этап 3

Пусть $u = x - 6$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x - 6$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 3.1.4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 36}} d u$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 6^{2}}} d u$

Этап 4.2

Изменим порядок $- u^{2}$ и $6^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{6^{2} - u^{2}}} d u$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{6^{2} - u^{2}}}$ по $u$ имеет вид $\arcsin (\frac{u}{6})$ .

$\arcsin (\frac{u}{6}) + C$

Этап 6

Перепишем $\arcsin (\frac{u}{6}) + C$ в виде $\arcsin (\frac{1}{6} u) + C$ .

$\arcsin (\frac{1}{6} u) + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $x - 6$ .

$\arcsin (\frac{1}{6} (x - 6)) + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\arcsin (\frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 6) + C$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x$ .

$\arcsin (\frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 6) + C$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $6$ из $- 6$ .

$\arcsin (\frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot (6 (- 1))) + C$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель.

$\arcsin (\frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot - 1)) + C$

Этап 8.3.3

Перепишем это выражение.

$\arcsin (\frac{x}{6} - 1) + C$

Этап 9

Изменим порядок членов.

$\arcsin (\frac{1}{6} x - 1) + C$