Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{16 x^{2} - 9}} d x$

Этап 1

Пусть $x = \frac{3}{4} \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4}$ положительно.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 {(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{16 {(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} - 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 {(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Применим правило умножения к $\frac{3 \sec (t)}{4}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.1.2.2

Применим правило умножения к $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.1.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.1.5

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $9 \tan^{2} (t)$ в виде ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} (3 \tan (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.1.2

Перенесем $3$ влево от ${(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{3 {(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{3 \sec (t)}{4}$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.2.2

Применим правило умножения к $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.3.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{3 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.3.3

Объединим $3$ и $\frac{9 \sec^{2} (t)}{16}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 (9 \sec^{2} (t))}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.3.4

Умножим $9$ на $3$ .

$\int \frac{1}{\frac{27 \sec^{2} (t)}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.3.5

Объединим $\frac{27 \sec^{2} (t)}{16}$ и $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}{16}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.3.6

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}{16}$ .

$\int 1 \frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.3.7

Умножим $\frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}$ на $1$ .

$\int \frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Этап 2.2.3.8

Умножим $\frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}$ на $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4}$ .

$\int \frac{16 (3 \sec (t) \tan (t))}{27 \sec^{2} (t) \tan (t) \cdot 4} d t$

Этап 2.2.3.9

Умножим $3$ на $16$ .

$\int \frac{48 (\sec (t) \tan (t))}{27 \sec^{2} (t) \tan (t) \cdot 4} d t$

Этап 2.2.3.10

Умножим $4$ на $27$ .

$\int \frac{48 (\sec (t) \tan (t))}{108 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Этап 2.2.3.11

Сократим общий множитель $48$ и $108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.11.1

Вынесем множитель $12$ из $48 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{108 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Этап 2.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $12$ из $108 \sec^{2} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{12 (9 \sec^{2} (t) \tan (t))} d t$

Этап 2.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{12 (9 \sec^{2} (t) \tan (t))} d t$

Этап 2.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{4 \sec (t) \tan (t)}{9 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Этап 2.2.3.12

Сократим общий множитель $\sec (t)$ и $\sec^{2} (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.12.1

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $4 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{9 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

Этап 2.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $9 \sec^{2} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{\sec (t) (9 \sec (t) \tan (t))} d t$

Этап 2.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{\sec (t) (9 \sec (t) \tan (t))} d t$

Этап 2.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{4 \tan (t)}{9 \sec (t) \tan (t)} d t$

Этап 2.2.3.13

Сократим общий множитель $\tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.13.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{4 \tan (t)}{9 \sec (t) \tan (t)} d t$

Этап 2.2.3.13.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{4}{9 \sec (t)} d t$

Этап 3

Поскольку $\frac{4}{9}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{4}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{4}{9} \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Выразим $\sec (t)$ через синусы и косинусы.

$\frac{4}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Этап 4.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{4}{9} \int 1 \cos (t) d t$

Этап 4.3

Умножим $\cos (t)$ на $1$ .

$\frac{4}{9} \int \cos (t) d t$

Этап 5

Интеграл $\cos (t)$ по $t$ имеет вид $\sin (t)$ .

$\frac{4}{9} (\sin (t) + C)$

Этап 6

Упростим.

$\frac{4}{9} \sin (t) + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (\frac{4 x}{3})$ .

$\frac{4}{9} \sin (arcsec (\frac{4 x}{3})) + C$

Этап 8

Изменим порядок членов.

$\frac{4}{9} \sin (arcsec (\frac{4}{3} x)) + C$