Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x + 2} d x$

Этап 1

Разделим $x^{2} + 3 x - 4$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$3 x$

$4$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 2 x$ .

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x$	-	$4$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x$	-	$4$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x$	-	$4$
					+	$x$	+	$2$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 2$ .

				$x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x$	-	$4$
					-	$x$	-	$2$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x$	-	$4$
					-	$x$	-	$2$
							-	$6$

Этап 1.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int x + 1 - \frac{6}{x + 2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int d x + \int - \frac{6}{x + 2} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int - \frac{6}{x + 2} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int - \frac{6}{x + 2} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - \int \frac{6}{x + 2} d x$

Этап 6

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - (6 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Этап 7

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 6 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 8

Пусть $u = x + 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 8.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 6 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 6 (\ln (| u |) + C)$

Этап 10

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} + x - 6 \ln (| u |) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x - 6 \ln (| x + 2 |) + C$