Математический анализ Примеры

$\int \frac{u^{7} - 2 u^{4} + 6}{u^{4}} d u$

Этап 1

Вынесем $u^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (u^{7} - 2 u^{4} + 6) {(u^{4})}^{- 1} d u$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (u^{7} - 2 u^{4} + 6) u^{4 \cdot - 1} d u$

Этап 2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int (u^{7} - 2 u^{4} + 6) u^{- 4} d u$

Этап 3

Развернем $(u^{7} - 2 u^{4} + 6) u^{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u^{7} - 2 u^{4}) u^{- 4} + 6 u^{- 4} d u$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u^{7} u^{- 4} - 2 u^{4} u^{- 4} + 6 u^{- 4} d u$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{7 - 4} - 2 u^{4} u^{- 4} + 6 u^{- 4} d u$

Этап 3.4

Вычтем $4$ из $7$ .

$\int u^{3} - 2 u^{4} u^{- 4} + 6 u^{- 4} d u$

Этап 3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{3} - 2 u^{4 - 4} + 6 u^{- 4} d u$

Этап 3.6

Вычтем $4$ из $4$ .

$\int u^{3} - 2 u^{0} + 6 u^{- 4} d u$

Этап 3.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int u^{3} - 2 \cdot 1 + 6 u^{- 4} d u$

Этап 3.8

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\int u^{3} - 2 + 6 u^{- 4} d u$

Этап 3.9

Перенесем $- 2$ .

$\int u^{3} + 6 u^{- 4} - 2 d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{3} d u + \int 6 u^{- 4} d u + \int - 2 d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int 6 u^{- 4} d u + \int - 2 d u$

Этап 6

Поскольку $6$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} u^{4} + C + 6 \int u^{- 4} d u + \int - 2 d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{- 4}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + 6 (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C) + \int - 2 d u$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $u^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + 6 (- \frac{u^{- 3}}{3} + C) + \int - 2 d u$

Этап 8.2

Перенесем $u^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + 6 (- \frac{1}{3 u^{3}} + C) + \int - 2 d u$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} u^{4} + C + 6 (- \frac{1}{3 u^{3}} + C) - 2 u + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{u^{4}}{4} - \frac{2}{u^{3}} - 2 u + C$

Этап 10.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{2}{u^{3}} - 2 u + C$