Математический анализ Примеры

$\int \frac{w^{2} - w + 6}{w^{3} + 3 w} d w$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $w$ из $w^{3} + 3 w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $w$ из $w^{3}$ .

$\frac{w^{2} - w + 6}{w \cdot w^{2} + 3 w}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $w$ из $3 w$ .

$\frac{w^{2} - w + 6}{w \cdot w^{2} + w \cdot 3}$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $w$ из $w \cdot w^{2} + w \cdot 3$ .

$\frac{w^{2} - w + 6}{w (w^{2} + 3)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{w} + \frac{B w + C}{w^{2} + 3}$

Этап 1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $w (w^{2} + 3)$ .

$\frac{(w^{2} - w + 6) (w (w^{2} + 3))}{w (w^{2} + 3)} = \frac{A (w (w^{2} + 3))}{w} + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Этап 1.1.4

Сократим общий множитель $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(w^{2} - w + 6) (w (w^{2} + 3))}{w (w^{2} + 3)} = \frac{A (w (w^{2} + 3))}{w} + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Этап 1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(w^{2} - w + 6) (w^{2} + 3)}{w^{2} + 3} = \frac{A (w (w^{2} + 3))}{w} + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $w^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(w^{2} - w + 6) (w^{2} + 3)}{w^{2} + 3} = \frac{A (w (w^{2} + 3))}{w} + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Этап 1.1.5.2

Разделим $w^{2} - w + 6$ на $1$ .

$w^{2} - w + 6 = \frac{A (w (w^{2} + 3))}{w} + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Этап 1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$w^{2} - w + 6 = \frac{A (w (w^{2} + 3))}{w} + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Этап 1.1.6.1.2

Разделим $A (w^{2} + 3)$ на $1$ .

$w^{2} - w + 6 = A (w^{2} + 3) + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$w^{2} - w + 6 = A w^{2} + A \cdot 3 + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Этап 1.1.6.3

Перенесем $3$ влево от $A$ .

$w^{2} - w + 6 = A w^{2} + 3 \cdot A + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Этап 1.1.6.4

Сократим общий множитель $w^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$w^{2} - w + 6 = A w^{2} + 3 A + \frac{(B w + C) (w (w^{2} + 3))}{w^{2} + 3}$

Этап 1.1.6.4.2

Разделим $(B w + C) (w)$ на $1$ .

$w^{2} - w + 6 = A w^{2} + 3 A + (B w + C) (w)$

Этап 1.1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$w^{2} - w + 6 = A w^{2} + 3 A + B w \cdot w + C w$

Этап 1.1.6.6

Умножим $w$ на $w$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.6.1

Перенесем $w$ .

$w^{2} - w + 6 = A w^{2} + 3 A + B (w \cdot w) + C w$

Этап 1.1.6.6.2

Умножим $w$ на $w$ .

$w^{2} - w + 6 = A w^{2} + 3 A + B w^{2} + C w$

Этап 1.1.7

Перенесем $3 A$ .

$w^{2} - w + 6 = A w^{2} + B w^{2} + C w + 3 A$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $w^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $w$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 1 = C$

Этап 1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $w$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$6 = 3 A$

Этап 1.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$- 1 = C$

$6 = 3 A$

$1 = A + B$

$- 1 = C$

$6 = 3 A$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем уравнение в виде $C = - 1$ .

$C = - 1$

$1 = A + B$

$6 = 3 A$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $C$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перепишем уравнение в виде $3 A = 6$ .

$3 A = 6$

$C = - 1$

$1 = A + B$

Этап 1.3.2.2

Разделим каждый член $3 A = 6$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Разделим каждый член $3 A = 6$ на $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{6}{3}$

$C = - 1$

$1 = A + B$

Этап 1.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 A}{3} = \frac{6}{3}$

$C = - 1$

$1 = A + B$

Этап 1.3.2.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{6}{3}$

$C = - 1$

$1 = A + B$

$A = \frac{6}{3}$

$C = - 1$

$1 = A + B$

$A = \frac{6}{3}$

$C = - 1$

$1 = A + B$

Этап 1.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.3.1

Разделим $6$ на $3$ .

$A = 2$

$C = - 1$

$1 = A + B$

$A = 2$

$C = - 1$

$1 = A + B$

$A = 2$

$C = - 1$

$1 = A + B$

$A = 2$

$C = - 1$

$1 = A + B$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $A$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = A + B$ на $2$ .

$1 = (2) + B$

$A = 2$

$C = - 1$

Этап 1.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Избавимся от скобок.

$1 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 1$

$1 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 1$

$1 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 1$

Этап 1.3.4

Решим относительно $B$ в $1 = 2 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $2 + B = 1$ .

$2 + B = 1$

$A = 2$

$C = - 1$

Этап 1.3.4.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$B = 1 - 2$

$A = 2$

$C = - 1$

Этап 1.3.4.2.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$B = - 1$

$A = 2$

$C = - 1$

$B = - 1$

$A = 2$

$C = - 1$

$B = - 1$

$A = 2$

$C = - 1$

Этап 1.3.5

Решим систему уравнений.

$B = - 1 A = 2 C = - 1$

Этап 1.3.6

Перечислим все решения.

$B = - 1, A = 2, C = - 1$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{w} + \frac{B w + C}{w^{2} + 3}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{2}{w} + \frac{- 1 w - 1}{w^{2} + 3}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{2}{w} + \frac{(- 1) \cdot w - 1}{w^{2} + 3}$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 w$ .

$\frac{2}{w} + \frac{- 1 w - 1}{w^{2} + 3}$

Этап 1.5.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{2}{w} + \frac{- 1 w - 1 \cdot 1}{w^{2} + 3}$

Этап 1.5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (w) - 1 (1)$ .

$\frac{2}{w} + \frac{- 1 (w + 1)}{w^{2} + 3}$

Этап 1.5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{2}{w} - \frac{w + 1}{w^{2} + 3} d w$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2}{w} d w + \int - \frac{w + 1}{w^{2} + 3} d w$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $w$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{w} d w + \int - \frac{w + 1}{w^{2} + 3} d w$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{w}$ по $w$ имеет вид $\ln (| w |)$ .

$2 (\ln (| w |) + C) + \int - \frac{w + 1}{w^{2} + 3} d w$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $w$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\ln (| w |) + C) - \int \frac{w + 1}{w^{2} + 3} d w$

Этап 6

Разобьем дробь $\frac{w + 1}{w^{2} + 3}$ на две дроби.

$2 (\ln (| w |) + C) - \int \frac{w}{w^{2} + 3} + \frac{1}{w^{2} + 3} d w$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\ln (| w |) + C) - (\int \frac{w}{w^{2} + 3} d w + \int \frac{1}{w^{2} + 3} d w)$

Этап 8

Пусть $u = w^{2} + 3$ . Тогда $d u = 2 w d w$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = w d w$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = w^{2} + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d w}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $w^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d w} [w^{2} + 3]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $w^{2} + 3$ по $w$ имеет вид $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [3]$ .

$\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [3]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 w + \frac{d}{d w} [3]$

Этап 8.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $w$ , производная $3$ относительно $w$ равна $0$ .

$2 w + 0$

Этап 8.1.5

Добавим $2 w$ и $0$ .

$2 w$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 (\ln (| w |) + C) - (\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{w^{2} + 3} d w)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 (\ln (| w |) + C) - (\int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{w^{2} + 3} d w)$

Этап 9.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$2 (\ln (| w |) + C) - (\int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{w^{2} + 3} d w)$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\ln (| w |) + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{w^{2} + 3} d w)$

Этап 11

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| w |) + C) - (\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{w^{2} + 3} d w)$

Этап 12

Изменим порядок $w^{2}$ и $3$ .

$2 (\ln (| w |) + C) - (\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{3 + w^{2}} d w)$

Этап 13

Перепишем $3$ в виде ${\sqrt{3}}^{2}$ .

$2 (\ln (| w |) + C) - (\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2} + w^{2}} d w)$

Этап 14

Интеграл $\frac{1}{{\sqrt{3}}^{2} + w^{2}}$ по $w$ имеет вид $\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{w}{\sqrt{3}}) + C$ .

$2 (\ln (| w |) + C) - (\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{w}{\sqrt{3}}) + C)$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\arctan (\frac{w}{\sqrt{3}})$ .

$2 (\ln (| w |) + C) - (\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \frac{\arctan (\frac{w}{\sqrt{3}})}{\sqrt{3}} + C)$

Этап 15.2

Упростим.

$2 \ln (| w |) - (\frac{\ln (| u |)}{2} + \frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}}{3}) + C$

Этап 16

Заменим все вхождения $u$ на $w^{2} + 3$ .

$2 \ln (| w |) - (\frac{\ln (| w^{2} + 3 |)}{2} + \frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}}{3}) + C$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Чтобы записать $\frac{\ln (| w^{2} + 3 |)}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 \ln (| w |) - (\frac{\ln (| w^{2} + 3 |)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}}{3}) + C$

Этап 17.2

Чтобы записать $\frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 \ln (| w |) - (\frac{\ln (| w^{2} + 3 |)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2}) + C$

Этап 17.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Умножим $\frac{\ln (| w^{2} + 3 |)}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$2 \ln (| w |) - (\frac{\ln (| w^{2} + 3 |) \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2}) + C$

Этап 17.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$2 \ln (| w |) - (\frac{\ln (| w^{2} + 3 |) \cdot 3}{6} + \frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{2}) + C$

Этап 17.3.3

Умножим $\frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$2 \ln (| w |) - (\frac{\ln (| w^{2} + 3 |) \cdot 3}{6} + \frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3} \cdot 2}{3 \cdot 2}) + C$

Этап 17.3.4

Умножим $3$ на $2$ .

$2 \ln (| w |) - (\frac{\ln (| w^{2} + 3 |) \cdot 3}{6} + \frac{\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3} \cdot 2}{6}) + C$

Этап 17.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \ln (| w |) - \frac{\ln (| w^{2} + 3 |) \cdot 3 + \arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3} \cdot 2}{6} + C$

Этап 17.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Перенесем $3$ влево от $\ln (| w^{2} + 3 |)$ .

$2 \ln (| w |) - \frac{3 \cdot \ln (| w^{2} + 3 |) + \arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3} \cdot 2}{6} + C$

Этап 17.5.2

Перенесем $2$ влево от $\arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}$ .

$2 \ln (| w |) - \frac{3 \ln (| w^{2} + 3 |) + 2 \arctan (\frac{w \sqrt{3}}{3}) \sqrt{3}}{6} + C$

Этап 18

Изменим порядок членов.

$2 \ln (| w |) - \frac{1}{6} (3 \ln (| w^{2} + 3 |) + 2 \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} w) \sqrt{3}) + C$