Математический анализ Примеры

$\int \frac{6 t^{2} - 2}{t^{3} - t} d t$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 t^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 t^{2}$ .

$\frac{2 (3 t^{2}) - 2}{t^{3} - t}$

Этап 1.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (3 t^{2}) + 2 (- 1)}{t^{3} - t}$

Этап 1.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 t^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (3 t^{2} - 1)}{t^{3} - t}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{3} - t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{3}$ .

$\frac{2 (3 t^{2} - 1)}{t \cdot t^{2} - t}$

Этап 1.1.1.2.2

Вынесем множитель $t$ из $- t$ .

$\frac{2 (3 t^{2} - 1)}{t \cdot t^{2} + t \cdot - 1}$

Этап 1.1.1.2.3

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot t^{2} + t \cdot - 1$ .

$\frac{2 (3 t^{2} - 1)}{t (t^{2} - 1)}$

Этап 1.1.1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 (3 t^{2} - 1)}{t (t^{2} - 1^{2})}$

Этап 1.1.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = t$ и $b = 1$ .

$\frac{2 (3 t^{2} - 1)}{t ((t + 1) (t - 1))}$

Этап 1.1.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{2 (3 t^{2} - 1)}{t (t + 1) (t - 1)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 1}$

Этап 1.1.3

$\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 1} + \frac{C}{t - 1}$

Этап 1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $t (t + 1) (t - 1)$ .

$\frac{2 (3 t^{2} - 1) (t (t + 1) (t - 1))}{t (t + 1) (t - 1)} = \frac{A (t (t + 1) (t - 1))}{t} + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 t^{2} - 1) (t (t + 1) (t - 1))}{t (t + 1) (t - 1)} = \frac{A (t (t + 1) (t - 1))}{t} + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (3 t^{2} - 1) ((t + 1) (t - 1))}{(t + 1) (t - 1)} = \frac{A (t (t + 1) (t - 1))}{t} + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.6

Сократим общий множитель $t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 t^{2} - 1) ((t + 1) (t - 1))}{(t + 1) (t - 1)} = \frac{A (t (t + 1) (t - 1))}{t} + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (3 t^{2} - 1) (t - 1)}{t - 1} = \frac{A (t (t + 1) (t - 1))}{t} + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.7

Сократим общий множитель $t - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 t^{2} - 1) (t - 1)}{t - 1} = \frac{A (t (t + 1) (t - 1))}{t} + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.7.2

Разделим $2 (3 t^{2} - 1)$ на $1$ .

$2 (3 t^{2} - 1) = \frac{A (t (t + 1) (t - 1))}{t} + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (3 t^{2}) + 2 \cdot - 1 = \frac{A (t (t + 1) (t - 1))}{t} + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.9

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Умножим $3$ на $2$ .

$6 t^{2} + 2 \cdot - 1 = \frac{A (t (t + 1) (t - 1))}{t} + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.9.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 t^{2} - 2 = \frac{A (t (t + 1) (t - 1))}{t} + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.1

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.1.1

Сократим общий множитель.

$6 t^{2} - 2 = \frac{A (t (t + 1) (t - 1))}{t} + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.1.2

Разделим $A ((t + 1) (t - 1))$ на $1$ .

$6 t^{2} - 2 = A ((t + 1) (t - 1)) + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.2

Развернем $(t + 1) (t - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 t^{2} - 2 = A (t (t - 1) + 1 (t - 1)) + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 t^{2} - 2 = A (t \cdot t + t \cdot - 1 + 1 (t - 1)) + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 t^{2} - 2 = A (t \cdot t + t \cdot - 1 + 1 t + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.3.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$6 t^{2} - 2 = A (t^{2} + t \cdot - 1 + 1 t + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $t$ .

$6 t^{2} - 2 = A (t^{2} - 1 \cdot t + 1 t + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.3.1.3

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$6 t^{2} - 2 = A (t^{2} - t + 1 t + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.3.1.4

Умножим $t$ на $1$ .

$6 t^{2} - 2 = A (t^{2} - t + t + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 t^{2} - 2 = A (t^{2} - t + t - 1) + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.3.2

Добавим $- t$ и $t$ .

$6 t^{2} - 2 = A (t^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.3.3

Добавим $t^{2}$ и $0$ .

$6 t^{2} - 2 = A (t^{2} - 1) + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.5

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.6

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} - A + \frac{(B) (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.7

Сократим общий множитель $t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.7.1

Сократим общий множитель.

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} - A + \frac{B (t (t + 1) (t - 1))}{t + 1} + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.7.2

Разделим $(B) (t (t - 1))$ на $1$ .

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} - A + (B) (t (t - 1)) + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.8

Применим свойство дистрибутивности.

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} - A + B (t \cdot t + t \cdot - 1) + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.9

Умножим $t$ на $t$ .

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} - A + B (t^{2} + t \cdot - 1) + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.10

Перенесем $- 1$ влево от $t$ .

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} - A + B (t^{2} - 1 \cdot t) + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.11

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} - A + B (t^{2} - t) + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.12

Применим свойство дистрибутивности.

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} - A + B t^{2} + B (- t) + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} - A + B t^{2} - B t + \frac{(C) (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.14

Сократим общий множитель $t - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.14.1

Сократим общий множитель.

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} - A + B t^{2} - B t + \frac{C (t (t + 1) (t - 1))}{t - 1}$

Этап 1.1.10.14.2

Разделим $(C) (t (t + 1))$ на $1$ .

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} - A + B t^{2} - B t + (C) (t (t + 1))$

Этап 1.1.10.15

Применим свойство дистрибутивности.

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} - A + B t^{2} - B t + C (t \cdot t + t \cdot 1)$

Этап 1.1.10.16

Умножим $t$ на $t$ .

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} - A + B t^{2} - B t + C (t^{2} + t \cdot 1)$

Этап 1.1.10.17

Умножим $t$ на $1$ .

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} - A + B t^{2} - B t + C (t^{2} + t)$

Этап 1.1.10.18

Применим свойство дистрибутивности.

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} - A + B t^{2} - B t + C t^{2} + C t$

Этап 1.1.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.11.1

Перенесем $B$ .

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} - A + B t^{2} - t B + C t^{2} + C t$

Этап 1.1.11.2

Перенесем $- A$ .

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} + B t^{2} - t B + C t^{2} + C t - A$

Этап 1.1.11.3

Перенесем $- t B$ .

$6 t^{2} - 2 = A t^{2} + B t^{2} + C t^{2} - t B + C t - A$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $t^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$6 = A + B + C$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $t$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 B + C$

Этап 1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $t$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 2 = - 1 A$

Этап 1.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$6 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A$

$6 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$- 2 = - 1 A$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $- 2 = - 1 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 A = - 2$ .

$- 1 A = - 2$

$6 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Этап 1.3.1.2

Разделим каждый член $- 1 A = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Разделим каждый член $- 1 A = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

$6 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Этап 1.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{A}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

$6 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Этап 1.3.1.2.2.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 2}{- 1}$

$6 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = \frac{- 2}{- 1}$

$6 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Этап 1.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$A = 2$

$6 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = 2$

$6 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = 2$

$6 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

$A = 2$

$6 = A + B + C$

$0 = - 1 B + C$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $6 = A + B + C$ на $2$ .

$6 = (2) + B + C$

$A = 2$

$0 = - 1 B + C$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$6 = 2 + B + C$

$A = 2$

$0 = - 1 B + C$

$6 = 2 + B + C$

$A = 2$

$0 = - 1 B + C$

$6 = 2 + B + C$

$A = 2$

$0 = - 1 B + C$

Этап 1.3.3

Решим относительно $B$ в $6 = 2 + B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 + B + C = 6$ .

$2 + B + C = 6$

$A = 2$

$0 = - 1 B + C$

Этап 1.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$B + C = 6 - 2$

$A = 2$

$0 = - 1 B + C$

Этап 1.3.3.2.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$B = 6 - 2 - C$

$A = 2$

$0 = - 1 B + C$

Этап 1.3.3.2.3

Вычтем $2$ из $6$ .

$B = 4 - C$

$A = 2$

$0 = - 1 B + C$

$B = 4 - C$

$A = 2$

$0 = - 1 B + C$

$B = 4 - C$

$A = 2$

$0 = - 1 B + C$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $4 - C$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $0 = - 1 B + C$ на $4 - C$ .

$0 = - 1 (4 - C) + C$

$B = 4 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим $- 1 (4 - C) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = - 1 \cdot 4 - 1 (- C) + C$

$B = 4 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.4.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$0 = - 4 - 1 (- C) + C$

$B = 4 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.4.2.1.1.3

Умножим $- 1 (- C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 = - 4 + 1 C + C$

$B = 4 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.4.2.1.1.3.2

Умножим $C$ на $1$ .

$0 = - 4 + C + C$

$B = 4 - C$

$A = 2$

$0 = - 4 + C + C$

$B = 4 - C$

$A = 2$

$0 = - 4 + C + C$

$B = 4 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.4.2.1.2

Добавим $C$ и $C$ .

$0 = - 4 + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = 2$

$0 = - 4 + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = 2$

$0 = - 4 + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = 2$

$0 = - 4 + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.5

Решим относительно $C$ в $0 = - 4 + 2 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 + 2 C = 0$ .

$- 4 + 2 C = 0$

$B = 4 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$2 C = 4$

$B = 4 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.5.3

Разделим каждый член $2 C = 4$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.1

Разделим каждый член $2 C = 4$ на $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{4}{2}$

$B = 4 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 C}{2} = \frac{4}{2}$

$B = 4 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.5.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{4}{2}$

$B = 4 - C$

$A = 2$

$C = \frac{4}{2}$

$B = 4 - C$

$A = 2$

$C = \frac{4}{2}$

$B = 4 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.3.1

Разделим $4$ на $2$ .

$C = 2$

$B = 4 - C$

$A = 2$

$C = 2$

$B = 4 - C$

$A = 2$

$C = 2$

$B = 4 - C$

$A = 2$

$C = 2$

$B = 4 - C$

$A = 2$

Этап 1.3.6

Заменим все вхождения $C$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Заменим все вхождения $C$ в $B = 4 - C$ на $2$ .

$B = 4 - (2)$

$C = 2$

$A = 2$

Этап 1.3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Упростим $4 - (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$B = 4 - 2$

$C = 2$

$A = 2$

Этап 1.3.6.2.1.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$B = 2$

$C = 2$

$A = 2$

$B = 2$

$C = 2$

$A = 2$

$B = 2$

$C = 2$

$A = 2$

$B = 2$

$C = 2$

$A = 2$

Этап 1.3.7

Перечислим все решения.

$B = 2, C = 2, A = 2$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 1} + \frac{C}{t - 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{2}{t} + \frac{2}{t + 1} + \frac{2}{t - 1}$

Этап 1.5

Удалим ноль из выражения.

$\int \frac{2}{t} + \frac{2}{t + 1} + \frac{2}{t - 1} d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2}{t} d t + \int \frac{2}{t + 1} d t + \int \frac{2}{t - 1} d t$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{t} d t + \int \frac{2}{t + 1} d t + \int \frac{2}{t - 1} d t$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$2 (\ln (| t |) + C) + \int \frac{2}{t + 1} d t + \int \frac{2}{t - 1} d t$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 (\ln (| t |) + C) + 2 \int \frac{1}{t + 1} d t + \int \frac{2}{t - 1} d t$

Этап 6

Пусть $u_{1} = t + 1$ . Тогда $d u_{1} = d t$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{1} = t + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 6.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$2 (\ln (| t |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{t - 1} d t$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| t |) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{t - 1} d t$

Этап 8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 (\ln (| t |) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{t - 1} d t$

Этап 9

Пусть $u_{2} = t - 1$ . Тогда $d u_{2} = d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{2} = t - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

Этап 9.1.2

По правилу суммы производная $t - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 9.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 9.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$2 (\ln (| t |) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| t |) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 11

Упростим.

$2 \ln (| t |) + 2 \ln (| u_{1} |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 12

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $t + 1$ .

$2 \ln (| t |) + 2 \ln (| t + 1 |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 12.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $t - 1$ .

$2 \ln (| t |) + 2 \ln (| t + 1 |) + 2 \ln (| t - 1 |) + C$