Математический анализ Примеры

$\int (3 t^{4} + 2) t^{3} d t$

Этап 1

Умножим $(3 t^{4} + 2) t^{3}$ .

$\int 3 t^{4} t^{3} + 2 t^{3} d t$

Этап 2

Умножим $t^{4}$ на $t^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем $t^{3}$ .

$\int 3 (t^{3} t^{4}) + 2 t^{3} d t$

Этап 2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3 t^{3 + 4} + 2 t^{3} d t$

Этап 2.3

Добавим $3$ и $4$ .

$\int 3 t^{7} + 2 t^{3} d t$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 t^{7} d t + \int 2 t^{3} d t$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int t^{7} d t + \int 2 t^{3} d t$

Этап 5

По правилу степени интеграл $t^{7}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{8} t^{8}$ .

$3 (\frac{1}{8} t^{8} + C) + \int 2 t^{3} d t$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{8} t^{8} + C) + 2 \int t^{3} d t$

Этап 7

По правилу степени интеграл $t^{3}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$3 (\frac{1}{8} t^{8} + C) + 2 (\frac{1}{4} t^{4} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$3 (\frac{1}{8}) t^{8} + 2 (\frac{1}{4}) t^{4} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{3}{8} t^{8} + 2 (\frac{1}{4}) t^{4} + C$

Этап 8.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{8} t^{8} + \frac{2}{4} t^{4} + C$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{3}{8} t^{8} + \frac{2 (1)}{4} t^{4} + C$

Этап 8.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{3}{8} t^{8} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} t^{4} + C$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{8} t^{8} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} t^{4} + C$

Этап 8.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{8} t^{8} + \frac{1}{2} t^{4} + C$