Математический анализ Примеры

$\int \sqrt{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 2 x^{3}$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2}} d x$

Этап 1.1.3

Умножим на $1$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x)$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} d x$

Этап 1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2})} d x$

Этап 1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 1.2.3

Перепишем многочлен.

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})} d x$

Этап 1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\int \sqrt{x^{2} {(x - 1)}^{2}} d x$

Этап 1.3

Перепишем $x^{2} {(x - 1)}^{2}$ в виде ${(x (x - 1))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(x (x - 1))}^{2}} d x$

Этап 1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int x (x - 1) d x$

Этап 1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x + x \cdot - 1 d x$

Этап 1.6

Умножим $x$ на $x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 d x$

Этап 1.7

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\int x^{2} - 1 \cdot x d x$

Этап 1.8

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\int x^{2} - x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int - x d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - x d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 6

Упростим.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C$