Математический анализ Примеры

$\int \frac{8}{y^{3} - 4 y} d y$

Этап 1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int \frac{1}{y^{3} - 4 y} d y$

Этап 2

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{3} - 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{3}$ .

$\frac{1}{y \cdot y^{2} - 4 y}$

Этап 2.1.1.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- 4 y$ .

$\frac{1}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 4}$

Этап 2.1.1.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y^{2} + y \cdot - 4$ .

$\frac{1}{y (y^{2} - 4)}$

Этап 2.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{y (y^{2} - 2^{2})}$

Этап 2.1.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 2$ .

$\frac{1}{y ((y + 2) (y - 2))}$

Этап 2.1.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{1}{y (y + 2) (y - 2)}$

Этап 2.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2}$

Этап 2.1.3

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 2}$

Этап 2.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $y (y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{1 (y (y + 2) (y - 2))}{y (y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (y (y + 2) (y - 2))}{y (y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 ((y + 2) (y - 2))}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.6

Сократим общий множитель $y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 ((y + 2) (y - 2))}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (y - 2)}{y - 2} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.7

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (y - 2)}{y - 2} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.7.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.1.2

Разделим $A ((y + 2) (y - 2))$ на $1$ .

$1 = A ((y + 2) (y - 2)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.2

Развернем $(y + 2) (y - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A (y (y - 2) + 2 (y - 2)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A (y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A (y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.3

Объединим противоположные члены в $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.3.1

Изменим порядок множителей в членах $y \cdot - 2$ и $2 y$ .

$1 = A (y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.3.2

Добавим $- 2 y$ и $2 y$ .

$1 = A (y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.3.3

Добавим $y \cdot y$ и $0$ .

$1 = A (y \cdot y + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.4.1

Умножим $y$ на $y$ .

$1 = A (y^{2} + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$1 = A (y^{2} - 4) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A y^{2} + A \cdot - 4 + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.6

Перенесем $- 4$ влево от $A$ .

$1 = A y^{2} - 4 \cdot A + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.7

Сократим общий множитель $y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.7.1

Сократим общий множитель.

$1 = A y^{2} - 4 A + \frac{B (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.7.2

Разделим $(B) (y (y - 2))$ на $1$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + (B) (y (y - 2)) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.8

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A y^{2} - 4 A + B (y \cdot y + y \cdot - 2) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.9

Умножим $y$ на $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B (y^{2} + y \cdot - 2) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.10

Перенесем $- 2$ влево от $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B (y^{2} - 2 \cdot y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.11

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} + B (- 2 y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.13

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.13.1

Сократим общий множитель.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + \frac{C (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Этап 2.1.8.13.2

Разделим $(C) (y (y + 2))$ на $1$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + (C) (y (y + 2))$

Этап 2.1.8.14

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C (y \cdot y + y \cdot 2)$

Этап 2.1.8.15

Умножим $y$ на $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C (y^{2} + y \cdot 2)$

Этап 2.1.8.16

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C (y^{2} + 2 \cdot y)$

Этап 2.1.8.17

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C y^{2} + C (2 y)$

Этап 2.1.8.18

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C y^{2} + 2 C y$

Этап 2.1.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Перенесем $B$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 y B + C y^{2} + 2 C y$

Этап 2.1.9.2

Перенесем $- 4 A$ .

$1 = A y^{2} + B y^{2} - 2 y B + C y^{2} + 2 C y - 4 A$

Этап 2.1.9.3

Перенесем $- 2 y B$ .

$1 = A y^{2} + B y^{2} + C y^{2} - 2 y B + 2 C y - 4 A$

Этап 2.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B + C$

Этап 2.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 2 B + 2 C$

Этап 2.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 4 A$

Этап 2.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 4 A$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 4 A$

Этап 2.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = - 4 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 A = 1$ .

$- 4 A = 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Этап 2.3.1.2

Разделим каждый член $- 4 A = 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Разделим каждый член $- 4 A = 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Этап 2.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Этап 2.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Этап 2.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Этап 2.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- \frac{1}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B + C$ на $- \frac{1}{4}$ .

$0 = (- \frac{1}{4}) + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Этап 2.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = - \frac{1}{4} + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$0 = - \frac{1}{4} + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$0 = - \frac{1}{4} + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Этап 2.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - \frac{1}{4} + B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{4} + B + C = 0$ .

$- \frac{1}{4} + B + C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Этап 2.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Добавим $\frac{1}{4}$ к обеим частям уравнения.

$B + C = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Этап 2.3.3.2.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Этап 2.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{4} - C$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $0 = - 2 B + 2 C$ на $\frac{1}{4} - C$ .

$0 = - 2 (\frac{1}{4} - C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Упростим $- 2 (\frac{1}{4} - C) + 2 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = - 2 (\frac{1}{4}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$0 = 2 (- 1) (\frac{1}{4}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.4.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$0 = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.4.2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$0 = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.4.2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.4.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) + 2 C + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.4.2.1.1.4

Перепишем $- 1 (\frac{1}{2})$ в виде $- (\frac{1}{2})$ .

$0 = - \frac{1}{2} + 2 C + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 C + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.4.2.1.2

Добавим $2 C$ и $2 C$ .

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.5

Решим относительно $C$ в $0 = - \frac{1}{2} + 4 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{2} + 4 C = 0$ .

$- \frac{1}{2} + 4 C = 0$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.5.2

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$4 C = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.5.3

Разделим каждый член $4 C = \frac{1}{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.1

Разделим каждый член $4 C = \frac{1}{2}$ на $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 C}{4} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.5.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$C = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.5.3.3.2

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$C = \frac{1}{2 \cdot 4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.5.3.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $C$ на $\frac{1}{8}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Заменим все вхождения $C$ в $B = \frac{1}{4} - C$ на $\frac{1}{8}$ .

$B = \frac{1}{4} - (\frac{1}{8})$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Упростим $\frac{1}{4} - (\frac{1}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1.1

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.6.2.1.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1.2.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.6.2.1.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$B = \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.6.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$B = \frac{2 - 1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.6.2.1.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.7

Перечислим все решения.

$B = \frac{1}{8}, C = \frac{1}{8}, A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 2}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$- \frac{\frac{1}{4}}{y} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Этап 2.5.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{y \cdot 4} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Этап 2.5.3

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$- \frac{1}{4 y} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Этап 2.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Этап 2.5.5

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{1}{y + 2}$ .

$- \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8 (y + 2)} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Этап 2.5.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8 (y + 2)} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y - 2}$

Этап 2.5.7

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{1}{y - 2}$ .

$8 \int - \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8 (y + 2)} + \frac{1}{8 (y - 2)} d y$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$8 (\int - \frac{1}{4 y} d y + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$8 (- \int \frac{1}{4 y} d y + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$8 (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{y} d y) + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{y + 2} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Этап 8

Пусть $u_{1} = y + 2$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{1} = y + 2$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $y + 2$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Этап 8.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{y - 2} d y)$

Этап 11

Пусть $u_{2} = y - 2$ . Тогда $d u_{2} = d y$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{2} = y - 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Этап 11.1.2

По правилу суммы производная $y - 2$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Этап 11.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 11.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Этап 13

Упростим.

$8 (- \frac{1}{4} \ln (| y |) + \frac{1}{8} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{8} \ln (| u_{2} |)) + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y + 2$ .

$8 (- \frac{1}{4} \ln (| y |) + \frac{1}{8} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{8} \ln (| u_{2} |)) + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y - 2$ .

$8 (- \frac{1}{4} \ln (| y |) + \frac{1}{8} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{8} \ln (| y - 2 |)) + C$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Объединим $\ln (| y |)$ и $\frac{1}{4}$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{1}{8} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{8} \ln (| y - 2 |)) + C$

Этап 15.1.2

Объединим $\frac{1}{8}$ и $\ln (| y + 2 |)$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 |)}{8} + \frac{1}{8} \ln (| y - 2 |)) + C$

Этап 15.1.3

Объединим $\frac{1}{8}$ и $\ln (| y - 2 |)$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 |)}{8} + \frac{\ln (| y - 2 |)}{8}) + C$

Этап 15.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 2 |)}{8}) + C$

Этап 15.3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 | | y - 2 |)}{8}) + C$

Этап 15.4

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| (y + 2) (y - 2) |)}{8}) + C$

Этап 15.5

Развернем $(y + 2) (y - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y (y - 2) + 2 (y - 2) |)}{8}) + C$

Этап 15.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2) |)}{8}) + C$

Этап 15.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Этап 15.6

Объединим противоположные члены в $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.6.1

Изменим порядок множителей в членах $y \cdot - 2$ и $2 y$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Этап 15.6.2

Добавим $- 2 y$ и $2 y$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Этап 15.6.3

Добавим $y \cdot y$ и $0$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Этап 15.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.7.1

Умножим $y$ на $y$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y^{2} + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Этап 15.7.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Этап 15.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Этап 15.9

Чтобы записать $- \frac{\ln (| y |)}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Этап 15.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.10.1

Умножим $\frac{\ln (| y |)}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Этап 15.10.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |) \cdot 2}{8} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Этап 15.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 \frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| y^{2} - 4 |)}{8} + C$

Этап 15.12

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.12.1

Сократим общий множитель.

$8 \frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| y^{2} - 4 |)}{8} + C$

Этап 15.12.2

Перепишем это выражение.

$- \ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| y^{2} - 4 |) + C$

Этап 15.13

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \ln (| y |) + \ln (| y^{2} - 4 |) + C$