Математический анализ Примеры

$2 \int_{0}^{4.1} - 0.2 x^{2} (x - 5) d x$

Этап 1

Умножим $- 0.2 x^{2} (x - 5)$ .

$2 \int_{0}^{4.1} - 0.2 x^{2} x - 0.2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \int_{0}^{4.1} - 0.2 (x^{1} x^{2}) - 0.2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Этап 2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \int_{0}^{4.1} - 0.2 x^{1 + 2} - 0.2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Этап 2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 \int_{0}^{4.1} - 0.2 x^{3} - 0.2 x^{2} \cdot - 5 d x$

Этап 2.4

Умножим $- 5$ на $- 0.2$ .

$2 \int_{0}^{4.1} - 0.2 x^{3} + 1 x^{2} d x$

Этап 2.5

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$2 \int_{0}^{4.1} - 0.2 x^{3} + x^{2} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\int_{0}^{4.1} - 0.2 x^{3} d x + \int_{0}^{4.1} x^{2} d x)$

Этап 4

Поскольку $- 0.2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 0.2$ из-под знака интеграла.

$2 (- 0.2 \int_{0}^{4.1} x^{3} d x + \int_{0}^{4.1} x^{2} d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (- 0.2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4.1}) + \int_{0}^{4.1} x^{2} d x)$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$2 (- 0.2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4.1}) + \int_{0}^{4.1} x^{2} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (- 0.2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4.1}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4.1})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (- 0.2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4.1}) + \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4.1})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $4.1$ и в $0$ .

$2 (- 0.2 ((\frac{{4.1}^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4.1})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4.1$ и в $0$ .

$2 (- 0.2 (\frac{{4.1}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Возведем $4.1$ в степень $4$ .

$2 (- 0.2 (\frac{282.5761}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (- 0.2 (\frac{282.5761}{4} - \frac{0}{4}) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$2 (- 0.2 (\frac{282.5761}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$2 (- 0.2 (\frac{282.5761}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (- 0.2 (\frac{282.5761}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (- 0.2 (\frac{282.5761}{4} - \frac{0}{1}) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (- 0.2 (\frac{282.5761}{4} - 0) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (- 0.2 (\frac{282.5761}{4} + 0) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.5

Добавим $\frac{282.5761}{4}$ и $0$ .

$2 (- 0.2 (\frac{282.5761}{4}) + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.6

Объединим $- 0.2$ и $\frac{282.5761}{4}$ .

$2 (\frac{- 0.2 \cdot 282.5761}{4} + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.7

Умножим $- 0.2$ на $282.5761$ .

$2 (\frac{- 56.51522}{4} + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{{4.1}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.9

Возведем $4.1$ в степень $3$ .

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{68.921}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{68.921}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 8.2.3.11

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{68.921}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 8.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{68.921}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{68.921}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{68.921}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 8.2.3.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{68.921}{3} - 0)$

Этап 8.2.3.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{68.921}{3} + 0)$

Этап 8.2.3.13

Добавим $\frac{68.921}{3}$ и $0$ .

$2 (- \frac{56.51522}{4} + \frac{68.921}{3})$

Этап 8.2.3.14

Чтобы записать $- \frac{56.51522}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 (- \frac{56.51522}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{68.921}{3})$

Этап 8.2.3.15

Чтобы записать $\frac{68.921}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{56.51522}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{68.921}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Этап 8.2.3.16

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.16.1

Умножим $\frac{56.51522}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$2 (- \frac{56.51522 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{68.921}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Этап 8.2.3.16.2

Умножим $4$ на $3$ .

$2 (- \frac{56.51522 \cdot 3}{12} + \frac{68.921}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Этап 8.2.3.16.3

Умножим $\frac{68.921}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{56.51522 \cdot 3}{12} + \frac{68.921 \cdot 4}{3 \cdot 4})$

Этап 8.2.3.16.4

Умножим $3$ на $4$ .

$2 (- \frac{56.51522 \cdot 3}{12} + \frac{68.921 \cdot 4}{12})$

Этап 8.2.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{- 56.51522 \cdot 3 + 68.921 \cdot 4}{12}$

Этап 8.2.3.18

Умножим $- 56.51522$ на $3$ .

$2 \frac{- 169.54566 + 68.921 \cdot 4}{12}$

Этап 8.2.3.19

Умножим $68.921$ на $4$ .

$2 \frac{- 169.54566 + 275.684}{12}$

Этап 8.2.3.20

Добавим $- 169.54566$ и $275.684$ .

$2 (\frac{106.13834}{12})$

Этап 8.2.3.21

Объединим $2$ и $\frac{106.13834}{12}$ .

$\frac{2 \cdot 106.13834}{12}$

Этап 8.2.3.22

Умножим $2$ на $106.13834$ .

$\frac{212.27668}{12}$

Этап 9

Разделим $212.27668$ на $12$ .

$17.68972\overline{3}$

Этап 10