Математический анализ Примеры

$2 p k \int_{0}^{1} (5 x - x^{2}) x^{3} d x$

Этап 1

Развернем $(5 x - x^{2}) x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 p k \int_{0}^{1} 5 x \cdot x^{3} - x^{2} x^{3} d x$

Этап 1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 p k \int_{0}^{1} 5 (x^{1} x^{3}) - x^{2} x^{3} d x$

Этап 1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 p k \int_{0}^{1} 5 x^{1 + 3} - x^{2} x^{3} d x$

Этап 1.4

Добавим $1$ и $3$ .

$2 p k \int_{0}^{1} 5 x^{4} - x^{2} x^{3} d x$

Этап 1.5

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$2 p k \int_{0}^{1} 5 x^{4} - (x^{2} x^{3}) d x$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 p k \int_{0}^{1} 5 x^{4} - x^{2 + 3} d x$

Этап 1.7

Добавим $2$ и $3$ .

$2 p k \int_{0}^{1} 5 x^{4} - x^{5} d x$

Этап 1.8

Изменим порядок $5 x^{4}$ и $- x^{5}$ .

$2 p k \int_{0}^{1} - x^{5} + 5 x^{4} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 p k (\int_{0}^{1} - x^{5} d x + \int_{0}^{1} 5 x^{4} d x)$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 p k (- \int_{0}^{1} x^{5} d x + \int_{0}^{1} 5 x^{4} d x)$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$2 p k (- (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 5 x^{4} d x)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$2 p k (- (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 5 x^{4} d x)$

Этап 6

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$2 p k (- (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) + 5 \int_{0}^{1} x^{4} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$2 p k (- (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) + 5 (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$2 p k (- (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{6}}{6}$ в $1$ и в $0$ .

$2 p k (- ((\frac{1^{6}}{6}) - \frac{0^{6}}{6}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5}$ в $1$ и в $0$ .

$2 p k (- (\frac{1^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$2 p k (- (\frac{1}{6} - \frac{0^{6}}{6}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 p k (- (\frac{1}{6} - \frac{0}{6}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.3.1

Вынесем множитель $6$ из $0$ .

$2 p k (- (\frac{1}{6} - \frac{6 (0)}{6}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$2 p k (- (\frac{1}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 p k (- (\frac{1}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$2 p k (- (\frac{1}{6} - \frac{0}{1}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 p k (- (\frac{1}{6} - 0) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 p k (- (\frac{1}{6} + 0) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.5

Добавим $\frac{1}{6}$ и $0$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Этап 8.2.3.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))$

Этап 8.2.3.8

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.8.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Этап 8.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Этап 8.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Этап 8.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))$

Этап 8.2.3.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - 0))$

Этап 8.2.3.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} + 0))$

Этап 8.2.3.10

Добавим $\frac{1}{5}$ и $0$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5}))$

Этап 8.2.3.11

Объединим $5$ и $\frac{1}{5}$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + \frac{5}{5})$

Этап 8.2.3.12

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.12.1

Сократим общий множитель.

$2 p k (- \frac{1}{6} + \frac{5}{5})$

Этап 8.2.3.12.2

Перепишем это выражение.

$2 p k (- \frac{1}{6} + 1)$

Этап 8.2.3.13

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 p k (- \frac{1}{6} + \frac{6}{6})$

Этап 8.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 p k \frac{- 1 + 6}{6}$

Этап 8.2.3.15

Добавим $- 1$ и $6$ .

$2 p k \frac{5}{6}$

Этап 8.2.3.16

Объединим $2$ и $\frac{5}{6}$ .

$p k \frac{2 \cdot 5}{6}$

Этап 8.2.3.17

Умножим $2$ на $5$ .

$p k \frac{10}{6}$

Этап 8.2.3.18

Объединим $p$ и $\frac{10}{6}$ .

$k \frac{p \cdot 10}{6}$

Этап 8.2.3.19

Объединим $k$ и $\frac{p \cdot 10}{6}$ .

$\frac{k (p \cdot 10)}{6}$

Этап 8.2.3.20

Перенесем $10$ влево от $p$ .

$\frac{k (10 \cdot p)}{6}$

Этап 8.2.3.21

Перенесем $10$ влево от $k$ .

$\frac{10 \cdot k p}{6}$

Этап 8.2.3.22

Сократим общий множитель $10$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.22.1

Вынесем множитель $2$ из $10 k p$ .

$\frac{2 (5 k p)}{6}$

Этап 8.2.3.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.22.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (5 k p)}{2 (3)}$

Этап 8.2.3.22.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (5 k p)}{2 \cdot 3}$

Этап 8.2.3.22.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 k p}{3}$

$\frac{5}{3} k p$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{5}{3}$ и $k$ .

$\frac{5 k}{3} p$

Этап 9.2

Объединим $\frac{5 k}{3}$ и $p$ .

$\frac{5 k p}{3}$

Этап 10