Математический анализ Примеры

$9800 \int_{- 5}^{0} (- y) (2 \sqrt{25 - y^{2}}) d y$

Этап 1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$9800 \int_{- 5}^{0} - 2 y \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Этап 2

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$9800 (- 2 \int_{- 5}^{0} y \sqrt{25 - y^{2}} d y)$

Этап 3

Умножим $- 2$ на $9800$ .

$- 19600 \int_{- 5}^{0} y \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Этап 4

Пусть $u = 25 - y^{2}$ . Тогда $d u = - 2 y d y$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 25 - y^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $25 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [25 - y^{2}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $25 - y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [25] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [25] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $25$ является константой относительно $y$ , производная $25$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{2}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 y)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 y$

Этап 4.1.4

Вычтем $2 y$ из $0$ .

$- 2 y$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $y$ в $u = 25 - y^{2}$ .

$u_{lower} = 25 - {(- 5)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$u_{lower} = 25 - 1 \cdot 25$

Этап 4.3.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$u_{lower} = 25 - 25$

Этап 4.3.2

Вычтем $25$ из $25$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $y$ в $u = 25 - y^{2}$ .

$u_{upper} = 25 - 0^{2}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{upper} = 25 - 0$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{upper} = 25 + 0$

Этап 4.5.2

Добавим $25$ и $0$ .

$u_{upper} = 25$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 25$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$- 19600 \int_{0}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 19600 \int_{0}^{25} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 5.2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 19600 \int_{0}^{25} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- 19600 (- \int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $- 19600$ .

$19600 \int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$19600 (\frac{1}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u)$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $19600$ .

$\frac{19600}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Этап 9.1.2

Сократим общий множитель $19600$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $19600$ .

$\frac{2 \cdot 9800}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Этап 9.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 9800}{2 (1)} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Этап 9.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 9800}{2 \cdot 1} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Этап 9.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9800}{1} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Этап 9.1.2.2.4

Разделим $9800$ на $1$ .

$9800 \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Этап 9.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$9800 \int_{0}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$9800 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{25})$

Этап 11

Объединим $\frac{2}{3}$ и $u^{\frac{3}{2}}$ .

$9800 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{25})$

Этап 12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем значение $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $25$ и в $0$ .

$9800 ((\frac{2 \cdot 25^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$9800 (\frac{2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 12.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 12.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Сократим общий множитель.

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 12.2.3.2

Перепишем это выражение.

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 12.2.4

Возведем $5$ в степень $3$ .

$9800 (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 12.2.5

Умножим $2$ на $125$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 12.2.6

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 12.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 12.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.8.1

Сократим общий множитель.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 12.2.8.2

Перепишем это выражение.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Этап 12.2.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Этап 12.2.10

Умножим $2$ на $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 12.2.11

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.11.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 12.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 12.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 12.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 12.2.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$9800 (\frac{250}{3} - 0)$

Этап 12.2.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} + 0)$

Этап 12.2.13

Добавим $\frac{250}{3}$ и $0$ .

$9800 (\frac{250}{3})$

Этап 12.2.14

Объединим $9800$ и $\frac{250}{3}$ .

$\frac{9800 \cdot 250}{3}$

Этап 12.2.15

Умножим $9800$ на $250$ .

$\frac{2450000}{3}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2450000}{3}$

Десятичная форма:

$816666.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$816666 \frac{2}{3}$

Этап 14