Математический анализ Примеры

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} {(6 - y^{2})}^{2} d y$

Этап 1

Развернем ${(6 - y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(6 - y^{2})}^{2}$ в виде $(6 - y^{2}) (6 - y^{2})$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} (6 - y^{2}) (6 - y^{2}) d y$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 (6 - y^{2}) - y^{2} (6 - y^{2}) d y$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 \cdot 6 + 6 (- y^{2}) - y^{2} (6 - y^{2}) d y$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 \cdot 6 + 6 (- y^{2}) - y^{2} \cdot 6 - y^{2} (- y^{2}) d y$

Этап 1.5

Перенесем $y^{2}$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 \cdot 6 + 6 \cdot - 1 y^{2} - 1 \cdot 6 y^{2} - y^{2} (- y^{2}) d y$

Этап 1.6

Перенесем $y^{2}$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 \cdot 6 + 6 \cdot - 1 y^{2} - 1 \cdot 6 y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} d y$

Этап 1.7

Умножим $6$ на $6$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 + 6 \cdot - 1 y^{2} - 1 \cdot 6 y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} d y$

Этап 1.8

Умножим $6$ на $- 1$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 1 \cdot 6 y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} d y$

Этап 1.9

Умножим $- 1$ на $6$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} d y$

Этап 1.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} + 1 y^{2} y^{2} d y$

Этап 1.11

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} + y^{2} y^{2} d y$

Этап 1.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} + y^{2 + 2} d y$

Этап 1.13

Добавим $2$ и $2$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} + y^{4} d y$

Этап 1.14

Вычтем $6 y^{2}$ из $- 6 y^{2}$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 12 y^{2} + y^{4} d y$

Этап 1.15

Изменим порядок $- 12 y^{2}$ и $y^{4}$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 + y^{4} - 12 y^{2} d y$

Этап 1.16

Перенесем $36$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} y^{4} - 12 y^{2} + 36 d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$p (\int_{0}^{\sqrt{6}} y^{4} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} - 12 y^{2} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Этап 3

По правилу степени интеграл $y^{4}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$p (\frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{\sqrt{6}} + \int_{0}^{\sqrt{6}} - 12 y^{2} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{5}$ и $y^{5}$ .

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} + \int_{0}^{\sqrt{6}} - 12 y^{2} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Этап 5

Поскольку $- 12$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 12$ из-под знака интеграла.

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 \int_{0}^{\sqrt{6}} y^{2} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{\sqrt{6}}) + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{6}}) + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{6}}) + 36 y]_{0}^{\sqrt{6}})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}}$ и $36 y]_{0}^{\sqrt{6}}$ .

$p (\frac{y^{5}}{5} + 36 y]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{6}}))$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\frac{y^{5}}{5} + 36 y$ в $\sqrt{6}$ и в $0$ .

$p ((\frac{{\sqrt{6}}^{5}}{5} + 36 \sqrt{6}) - (\frac{0^{5}}{5} + 36 \cdot 0) - 12 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{6}}))$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{y^{3}}{3}$ в $\sqrt{6}$ и в $0$ .

$p ((\frac{{\sqrt{6}}^{5}}{5} + 36 \sqrt{6}) - (\frac{0^{5}}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Перепишем ${\sqrt{6}}^{5}$ в виде $\sqrt{6^{5}}$ .

$p (\frac{\sqrt{6^{5}}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{0^{5}}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.2

Возведем $6$ в степень $5$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{0^{5}}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{0}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.4.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{5 (0)}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{0}{1} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (0 + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.5

Умножим $36$ на $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (0 + 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.6

Добавим $0$ и $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 0 - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + 0 - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.8

Добавим $\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6}$ и $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.9

Перепишем ${\sqrt{6}}^{3}$ в виде $\sqrt{6^{3}}$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{6^{3}}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.10

Возведем $6$ в степень $3$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 9.2.3.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{0}{3}))$

Этап 9.2.3.12

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.12.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Этап 9.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 9.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 9.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{0}{1}))$

Этап 9.2.3.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - 0))$

Этап 9.2.3.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} + 0))$

Этап 9.2.3.14

Добавим $\frac{\sqrt{216}}{3}$ и $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 \frac{\sqrt{216}}{3})$

Этап 9.2.3.15

Объединим $- 12$ и $\frac{\sqrt{216}}{3}$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{- 12 \sqrt{216}}{3})$

Этап 9.2.3.16

Сократим общий множитель $- 12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.16.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12 \sqrt{216}$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{3 (- 4 \sqrt{216})}{3})$

Этап 9.2.3.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.16.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{3 (- 4 \sqrt{216})}{3 (1)})$

Этап 9.2.3.16.2.2

Сократим общий множитель.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{3 (- 4 \sqrt{216})}{3 \cdot 1})$

Этап 9.2.3.16.2.3

Перепишем это выражение.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{- 4 \sqrt{216}}{1})$

Этап 9.2.3.16.2.4

Разделим $- 4 \sqrt{216}$ на $1$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{216})$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем $7776$ в виде $36^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Вынесем множитель $1296$ из $7776$ .

$p (\frac{\sqrt{1296 (6)}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{216})$

Этап 9.3.1.2

Перепишем $1296$ в виде $36^{2}$ .

$p (\frac{\sqrt{36^{2} \cdot 6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{216})$

Этап 9.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{216})$

Этап 9.3.3

Перепишем $216$ в виде $6^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Вынесем множитель $36$ из $216$ .

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{36 (6)})$

Этап 9.3.3.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6^{2} \cdot 6})$

Этап 9.3.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Этап 9.3.5

Чтобы записать $36 \sqrt{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} \cdot \frac{5}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Этап 9.3.6

Объединим $36 \sqrt{6}$ и $\frac{5}{5}$ .

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + \frac{36 \sqrt{6} \cdot 5}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Этап 9.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$p (\frac{36 \sqrt{6} + 36 \sqrt{6} \cdot 5}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Этап 9.3.8

Умножим $5$ на $36$ .

$p (\frac{36 \sqrt{6} + 180 \sqrt{6}}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Этап 9.3.9

Добавим $36 \sqrt{6}$ и $180 \sqrt{6}$ .

$p (\frac{216 \sqrt{6}}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Этап 9.3.10

Умножим $6$ на $- 4$ .

$p (\frac{216 \sqrt{6}}{5} - 24 \sqrt{6})$

Этап 9.3.11

Чтобы записать $- 24 \sqrt{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$p (\frac{216 \sqrt{6}}{5} - 24 \sqrt{6} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 9.3.12

Объединим $- 24 \sqrt{6}$ и $\frac{5}{5}$ .

$p (\frac{216 \sqrt{6}}{5} + \frac{- 24 \sqrt{6} \cdot 5}{5})$

Этап 9.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$p \frac{216 \sqrt{6} - 24 \sqrt{6} \cdot 5}{5}$

Этап 9.3.14

Умножим $5$ на $- 24$ .

$p \frac{216 \sqrt{6} - 120 \sqrt{6}}{5}$

Этап 9.3.15

Вычтем $120 \sqrt{6}$ из $216 \sqrt{6}$ .

$p \frac{96 \sqrt{6}}{5}$

Этап 9.3.16

Объединим $p$ и $\frac{96 \sqrt{6}}{5}$ .

$\frac{p (96 \sqrt{6})}{5}$

Этап 9.3.17

Перенесем $96$ влево от $p$ .

$\frac{96 p \sqrt{6}}{5}$

Этап 9.4

Изменим порядок членов.

$\frac{96 \sqrt{6}}{5} p$

Этап 10

Объединим $\frac{96 \sqrt{6}}{5}$ и $p$ .

$\frac{96 \sqrt{6} p}{5}$

Этап 11