Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{16} x^{- (\frac{11}{4})} d x$

Этап 1

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{11}{4}}$ по $x$ имеет вид $- \frac{4}{7} x^{- \frac{7}{4}}$ .

$- \frac{4}{7} x^{- \frac{7}{4}}]_{1}^{16}$

Этап 2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение $- \frac{4}{7} x^{- \frac{7}{4}}$ в $16$ и в $1$ .

$(- \frac{4}{7} \cdot 16^{- \frac{7}{4}}) + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{16^{\frac{7}{4}}} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

Этап 2.2.2

Перепишем $16$ в виде $2^{4}$ .

$- \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{{(2^{4})}^{\frac{7}{4}}} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

Этап 2.2.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2^{4 (\frac{7}{4})}} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2^{4 (\frac{7}{4})}} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

Этап 2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2^{7}} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

Этап 2.2.5

Возведем $2$ в степень $7$ .

$- \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{128} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

Этап 2.2.6

Умножим $\frac{1}{128}$ на $\frac{4}{7}$ .

$- \frac{4}{128 \cdot 7} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

Этап 2.2.7

Умножим $128$ на $7$ .

$- \frac{4}{896} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

Этап 2.2.8

Сократим общий множитель $4$ и $896$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- \frac{4 (1)}{896} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

Этап 2.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.2.1

Вынесем множитель $4$ из $896$ .

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 224} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

Этап 2.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 224} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

Этап 2.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{224} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

Этап 2.2.9

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{224} + \frac{4}{7} \cdot 1$

Этап 2.2.10

Умножим $\frac{4}{7}$ на $1$ .

$- \frac{1}{224} + \frac{4}{7}$

Этап 2.2.11

Чтобы записать $\frac{4}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{32}{32}$ .

$- \frac{1}{224} + \frac{4}{7} \cdot \frac{32}{32}$

Этап 2.2.12

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $224$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.1

Умножим $\frac{4}{7}$ на $\frac{32}{32}$ .

$- \frac{1}{224} + \frac{4 \cdot 32}{7 \cdot 32}$

Этап 2.2.12.2

Умножим $7$ на $32$ .

$- \frac{1}{224} + \frac{4 \cdot 32}{224}$

Этап 2.2.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 4 \cdot 32}{224}$

Этап 2.2.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.1

Умножим $4$ на $32$ .

$\frac{- 1 + 128}{224}$

Этап 2.2.14.2

Добавим $- 1$ и $128$ .

$\frac{127}{224}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{127}{224}$

Десятичная форма:

$0.56696428 \dots$

Этап 4