Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} 4 x - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - (2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 7.2

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 7.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $1$ .

$4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Этап 9.2

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $2$ и в $1$ .

$4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$4 (2 - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$4 (2 - \frac{1}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.4

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.5

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.7.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \frac{4 - 1}{2} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.7.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$4 (\frac{3}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.8

Объединим $4$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.9

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12}{2} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.10

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{1} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.10.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$6 - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.11

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 - 2 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Этап 9.3.12

Единица в любой степени равна единице.

$6 - 2 (- \frac{1}{2} + 1)$

Этап 9.3.13

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$6 - 2 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Этап 9.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 - 2 \frac{- 1 + 2}{2}$

Этап 9.3.15

Добавим $- 1$ и $2$ .

$6 - 2 (\frac{1}{2})$

Этап 9.3.16

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$6 + \frac{- 2}{2}$

Этап 9.3.17

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.17.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$6 + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Этап 9.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$6 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Этап 9.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$6 + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 9.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$6 + \frac{- 1}{1}$

Этап 9.3.17.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$6 - 1$

Этап 9.3.18

Вычтем $1$ из $6$ .

$5$

Этап 10