Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{2} p {(\sqrt{4 - x^{2}})}^{2} d x$

Этап 1

Перепишем ${(\sqrt{4 - x^{2}})}^{2}$ в виде $4 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - x^{2}}$ в виде ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{- 2}^{2} p {({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

Этап 1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 2}^{2} p {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

Этап 1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int_{- 2}^{2} p {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} d x$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\int_{- 2}^{2} p {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} d x$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\int_{- 2}^{2} p {(4 - x^{2})}^{1} d x$

Этап 1.5

Упростим.

$\int_{- 2}^{2} p (4 - x^{2}) d x$

Этап 2

Поскольку $p$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $p$ из-под знака интеграла.

$p \int_{- 2}^{2} 4 - x^{2} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$p (\int_{- 2}^{2} 4 d x + \int_{- 2}^{2} - x^{2} d x)$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$p (4 x]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - x^{2} d x)$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$p (4 x]_{- 2}^{2} - \int_{- 2}^{2} x^{2} d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$p (4 x]_{- 2}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}))$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$p (4 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}))$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $4 x$ в $2$ и в $- 2$ .

$p ((4 \cdot 2) - 4 \cdot - 2 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}))$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $- 2$ .

$p (4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$p (8 - 4 \cdot - 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$p (8 + 8 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.3

Добавим $8$ и $8$ .

$p (16 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$p (16 - (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.5

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$p (16 - (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}))$

Этап 7.2.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$p (16 - (\frac{8}{3} - - \frac{8}{3}))$

Этап 7.2.3.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (16 - (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})))$

Этап 7.2.3.8

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$p (16 - (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}))$

Этап 7.2.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$p (16 - \frac{8 + 8}{3})$

Этап 7.2.3.10

Добавим $8$ и $8$ .

$p (16 - \frac{16}{3})$

Этап 7.2.3.11

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$p (16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Этап 7.2.3.12

Объединим $16$ и $\frac{3}{3}$ .

$p (\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Этап 7.2.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$p \frac{16 \cdot 3 - 16}{3}$

Этап 7.2.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.14.1

Умножим $16$ на $3$ .

$p \frac{48 - 16}{3}$

Этап 7.2.3.14.2

Вычтем $16$ из $48$ .

$p \frac{32}{3}$

Этап 7.2.3.15

Объединим $p$ и $\frac{32}{3}$ .

$\frac{p \cdot 32}{3}$

Этап 7.2.3.16

Перенесем $32$ влево от $p$ .

$\frac{32 p}{3}$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$\frac{32}{3} p$

Этап 8

Объединим $\frac{32}{3}$ и $p$ .

$\frac{32 p}{3}$

Этап 9