Математический анализ Примеры

$\int \frac{3 \sqrt{x} - 2 x^{2} + 5 x}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{3 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 5 x}{\sqrt{x}} d x]$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{3 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 5 x}{x^{\frac{1}{2}}} d x]$

Этап 2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $3 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 x^{2} + 5 x}{x^{\frac{1}{2}}} d x]$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{3}{2}}) + 5 x}{x^{\frac{1}{2}}} d x]$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{3}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x]$

Этап 2.4

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (3 - 2 x^{\frac{3}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x]$

Этап 2.5

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} \cdot (3 - 2 x^{\frac{3}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d x} [\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x]$

Этап 3

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 - 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x]$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $3 - 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int 3 - 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}} d x]$

Этап 4.2

$\int 3 - 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}} d x$ — первообразная $3 - 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}}$ , поэтому по определению $\frac{d}{d x} [\int 3 - 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}} d x]$ — это $3 - 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 - 2 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$5 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{3}{2}} + 3$