Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл (y-2)/(y^2+2y-3) по y
Этап 1
Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Разложим на множители, используя метод группировки.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1.1
Рассмотрим форму . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно , а сумма — . В данном случае произведение чисел равно , а сумма — .
Этап 1.1.1.2
Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.
Этап 1.1.2
Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место .
Этап 1.1.3
Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место .
Этап 1.1.4
Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен .
Этап 1.1.5
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.5.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.5.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.1.6
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.6.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.6.2
Разделим на .
Этап 1.1.7
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.7.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.7.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.7.1.2
Разделим на .
Этап 1.1.7.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.7.3
Перенесем влево от .
Этап 1.1.7.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.7.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.7.4.2
Разделим на .
Этап 1.1.7.5
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.7.6
Перенесем влево от .
Этап 1.1.7.7
Перепишем в виде .
Этап 1.1.8
Перенесем .
Этап 1.2
Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.
Этап 1.2.2
Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.
Этап 1.2.3
Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.
Этап 1.3
Решим систему уравнений.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Решим относительно в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 1.3.1.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.3.2
Заменим все вхождения на во всех уравнениях.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.1
Заменим все вхождения в на .
Этап 1.3.2.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.2.1.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.2.1.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.3.2.2.1.1.2
Умножим на .
Этап 1.3.2.2.1.1.3
Умножим на .
Этап 1.3.2.2.1.1.4
Перепишем в виде .
Этап 1.3.2.2.1.2
Вычтем из .
Этап 1.3.3
Решим относительно в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 1.3.3.2
Перенесем все члены без в правую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.3.3.2.2
Вычтем из .
Этап 1.3.3.3
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.3.1
Разделим каждый член на .
Этап 1.3.3.3.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.3.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.3.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.3.3.3.2.1.2
Разделим на .
Этап 1.3.3.3.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.3.3.1
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
Этап 1.3.4
Заменим все вхождения на во всех уравнениях.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.4.1
Заменим все вхождения в на .
Этап 1.3.4.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.4.2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.4.2.1.1
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 1.3.4.2.1.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.3.4.2.1.3
Вычтем из .
Этап 1.3.4.2.1.4
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.3.5
Перечислим все решения.
Этап 1.4
Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в значениями, найденными для и .
Этап 1.5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.1
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 1.5.2
Умножим на .
Этап 1.5.3
Перенесем влево от .
Этап 1.5.4
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 1.5.5
Умножим на .
Этап 2
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 3
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 5
Пусть . Тогда . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.1
Дифференцируем .
Этап 5.1.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 5.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 5.1.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 5.1.5
Добавим и .
Этап 5.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 6
Интеграл по имеет вид .
Этап 7
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 8
Пусть . Тогда . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1.1
Дифференцируем .
Этап 8.1.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 8.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 8.1.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 8.1.5
Добавим и .
Этап 8.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 9
Интеграл по имеет вид .
Этап 10
Упростим.
Этап 11
Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Заменим все вхождения на .
Этап 11.2
Заменим все вхождения на .