Математический анализ Примеры

$f (x) = | x + 1 |$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = | (x + h) + 1 |$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = | x + h + 1 |$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $| x + h + 1 |$ .

$| x + h + 1 |$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = | x + h + 1 |$

$f (x) = | x + 1 |$

$f (x + h) = | x + h + 1 |$

$f (x) = | x + 1 |$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{| x + h + 1 | - (| x + 1 |)}{h}$

Этап 4

Умножим $- 1$ на $| x + 1 |$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$

Этап 5

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{h \to 0^{-}} \frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$

Этап 6

Вычислим пределы, подставив значение переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $\frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{| x + 0 + 1 | - | x + 1 |}{0}$

Этап 6.2

Так как выражение $\frac{| x + 0 + 1 | - | x + 1 |}{0}$ не определено, предел не существует.

$Не существует$

Этап 7

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$

Этап 8

Вычислим пределы, подставив значение переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $\frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{| x + 0 + 1 | - | x + 1 |}{0}$

Этап 8.2

Так как выражение $\frac{| x + 0 + 1 | - | x + 1 |}{0}$ не определено, предел не существует.

$Не существует$

Этап 9

Если право- или левостороннего предел не существует, предел не существует.

$Не существует$

Этап 10