Математический анализ Примеры

$f (x) = \tan (x) \cos (x)$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \tan (x + h) \cos (x + h)$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Выразим $\tan (x + h) \cos (x + h)$ через синусы и косинусы.

$f (x + h) = \frac{\sin (x + h)}{\cos (x + h)} \cdot \cos (x + h)$

Этап 2.1.2.1.2

Сократим общие множители.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\sin (x + h)$ .

$\sin (x + h)$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - (\sin (x))}{h}$

Этап 4

Use a sum or difference formula on the numerator.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Используем формулу синуса суммы, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

Этап 4.2

Избавимся от скобок.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $\sin (x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.2

Вынесем член $\sin (x)$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{\sin (x) lim_{h \to 0} \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.4

Вынесем член $\cos (x)$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.6

Найдем предел $\sin (x)$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.7.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.7.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.8.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.8.1.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.8.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \cdot 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.8.1.4

Умножим $\cos (x)$ на $0$ .

$\frac{\sin (x) + 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.8.2

Объединим противоположные члены в $\sin (x) + 0 - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.8.2.1

Добавим $\sin (x)$ и $0$ .

$\frac{\sin (x) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.2.8.2.2

Вычтем $\sin (x)$ из $\sin (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 5.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 5.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.2

По правилу суммы производная $\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Поскольку $\sin (x)$ является константой относительно $h$ , производная $\sin (x) \cos (h)$ по $h$ равна $\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.3.2

Производная $\cos (h)$ по $h$ равна $- \sin (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Поскольку $\cos (x)$ является константой относительно $h$ , производная $\cos (x) \sin (h)$ по $h$ равна $\cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.4.2

Производная $\sin (h)$ по $h$ равна $\cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.5

Поскольку $- \sin (x)$ является константой относительно $h$ , производная $- \sin (x)$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Добавим $\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.6.2

Изменим порядок членов.

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 5.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{1}$

Этап 5.4

Разделим $- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} - \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$- lim_{h \to 0} \sin (h) \sin (x) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Этап 6.2

Вынесем член $\sin (x)$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- \sin (x) lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Этап 6.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Этап 6.4

Вынесем член $\cos (x)$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \cos (h)$

Этап 6.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

Этап 7.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (0)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- \sin (x) \cdot 0 + \cos (x) \cos (0)$

Этап 8.1.2

Умножим $- \sin (x) \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 \sin (x) + \cos (x) \cos (0)$

Этап 8.1.2.2

Умножим $0$ на $\sin (x)$ .

$0 + \cos (x) \cos (0)$

Этап 8.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 + \cos (x) \cdot 1$

Этап 8.1.4

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$0 + \cos (x)$

Этап 8.2

Добавим $0$ и $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 9