Математический анализ Примеры

$\frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 12 x + 20$

Этап 1

Запишем $\frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 12 x + 20$ в виде функции.

$f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 12 x + 20$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $\frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 12 x + 20$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Этап 2.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Этап 2.1.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Этап 2.1.2.5

Объединим $\frac{6}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Этап 2.1.2.6

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Этап 2.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Этап 2.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Этап 2.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Этап 2.1.2.6.2.4

Разделим $2 x^{2}$ на $1$ .

$2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Этап 2.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

Этап 2.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Этап 2.1.4.3

Умножим $12$ на $1$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 + \frac{d}{d x} [20]$

Этап 2.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 + 0$

Этап 2.1.5.2

Добавим $2 x^{2} - 2 x + 12$ и $0$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x + 12$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 2 x + 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Этап 2.2.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$4 x - 2 + \frac{d}{d x} [12]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x - 2 + 0$

Этап 2.2.4.2

Добавим $4 x - 2$ и $0$ .

$f'' (x) = 4 x - 2$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x - 2$ .

$4 x - 2$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x - 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$4 x - 2 = 0$

Этап 3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 2$

Этап 3.3

Разделим каждый член $4 x = 2$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $4 x = 2$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{4}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x = \frac{2 (1)}{4}$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\frac{1}{2}$ в $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 12 x + 20$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Этап 4.1.2.1.2

Объединим.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 1^{3}}{3 \cdot 2^{3}} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Этап 4.1.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ и $2^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1^{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (1^{3})}{3 \cdot 2^{3}} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Этап 4.1.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $3 \cdot 2^{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (1^{3})}{2 (3 \cdot 2^{2})} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Этап 4.1.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 1^{3}}{2 (3 \cdot 2^{2})} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Этап 4.1.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1^{3}}{3 \cdot 2^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Этап 4.1.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3 \cdot 2^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Этап 4.1.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3 \cdot 4} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Этап 4.1.2.1.6

Умножим $3$ на $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Этап 4.1.2.1.7

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{1^{2}}{2^{2}} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Этап 4.1.2.1.8

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2^{2}} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Этап 4.1.2.1.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Этап 4.1.2.1.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.10.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} + 2 (6) (\frac{1}{2}) + 20$

Этап 4.1.2.1.10.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} + 2 \cdot (6 (\frac{1}{2})) + 20$

Этап 4.1.2.1.10.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} + 6 + 20$

Этап 4.1.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - (\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}) + 6 + 20$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + 6 + 20$

Этап 4.1.2.2.3

Запишем $6$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{6}{1} + 20$

Этап 4.1.2.2.4

Умножим $\frac{6}{1}$ на $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{6}{1} \cdot \frac{12}{12} + 20$

Этап 4.1.2.2.5

Умножим $\frac{6}{1}$ на $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{6 \cdot 12}{12} + 20$

Этап 4.1.2.2.6

Запишем $20$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{6 \cdot 12}{12} + \frac{20}{1}$

Этап 4.1.2.2.7

Умножим $\frac{20}{1}$ на $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{6 \cdot 12}{12} + \frac{20}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Этап 4.1.2.2.8

Умножим $\frac{20}{1}$ на $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{6 \cdot 12}{12} + \frac{20 \cdot 12}{12}$

Этап 4.1.2.2.9

Изменим порядок множителей в $4 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{3 \cdot 4} + \frac{6 \cdot 12}{12} + \frac{20 \cdot 12}{12}$

Этап 4.1.2.2.10

Умножим $3$ на $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{12} + \frac{6 \cdot 12}{12} + \frac{20 \cdot 12}{12}$

Этап 4.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 3 + 6 \cdot 12 + 20 \cdot 12}{12}$

Этап 4.1.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $6$ на $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 3 + 72 + 20 \cdot 12}{12}$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $20$ на $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 3 + 72 + 240}{12}$

Этап 4.1.2.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Вычтем $3$ из $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 2 + 72 + 240}{12}$

Этап 4.1.2.5.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.2.1

Добавим $- 2$ и $72$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{70 + 240}{12}$

Этап 4.1.2.5.2.2

Добавим $70$ и $240$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{310}{12}$

Этап 4.1.2.5.3

Сократим общий множитель $310$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $310$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (155)}{12}$

Этап 4.1.2.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 155}{2 \cdot 6}$

Этап 4.1.2.5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 155}{2 \cdot 6}$

Этап 4.1.2.5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{155}{6}$

Этап 4.1.2.6

Окончательный ответ: $\frac{155}{6}$ .

$\frac{155}{6}$

Этап 4.2

Подставляя $\frac{1}{2}$ в $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 12 x + 20$ , найдем точку $(\frac{1}{2}, \frac{155}{6})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{1}{2}, \frac{155}{6})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{1}{2})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.4$ .

$f'' (0.4) = 4 (0.4) - 2$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $4$ на $0.4$ .

$f'' (0.4) = 1.6 - 2$

Этап 6.2.2

Вычтем $2$ из $1.6$ .

$f'' (0.4) = - 0.4$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 0.4$ .

$- 0.4$

Этап 6.3

При $0.4$ вторая производная имеет вид $- 0.4$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, \frac{1}{2})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{1}{2})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{1}{2}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.6$ .

$f'' (0.6) = 4 (0.6) - 2$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $4$ на $0.6$ .

$f'' (0.6) = 2.4 - 2$

Этап 7.2.2

Вычтем $2$ из $2.4$ .

$f'' (0.6) = 0.4$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0.4$ .

$0.4$

Этап 7.3

При $0.6$ вторая производная имеет вид $0.4$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{1}{2}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(\frac{1}{2}, \frac{155}{6})$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{155}{6})$

Этап 9