Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(x + 3)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}] + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \cdot 1) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} (2 x)$

Этап 1.1.3.6

Перенесем $2$ влево от ${(x + 3)}^{3}$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{3} x$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Вынесем множитель $x {(x + 3)}^{2}$ из $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Вынесем множитель $x {(x + 3)}^{2}$ из $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2})$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + 2 {(x + 3)}^{3} x$

Этап 1.1.4.1.2

Вынесем множитель $x {(x + 3)}^{2}$ из $2 {(x + 3)}^{3} x$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.1.3

Вынесем множитель $x {(x + 3)}^{2}$ из $x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3) + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$x {(x + 3)}^{2} (3 x + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.3

Перепишем ${(x + 3)}^{2}$ в виде $(x + 3) (x + 3)$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.4

Развернем $(x + 3) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x (x + 3) + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.5.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$x (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.5.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$x (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.5.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$x (x^{2} + 6 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.7.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.7.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.7.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.7.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{1 + 2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.7.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(x^{3} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x^{3} + 6 x \cdot x + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.7.3

Перенесем $9$ влево от $x$ .

$(x^{3} + 6 x \cdot x + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.8.1

Перенесем $x$ .

$(x^{3} + 6 (x \cdot x) + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 (x + 3))$

Этап 1.1.4.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 2 \cdot 3)$

Этап 1.1.4.9.2

Умножим $2$ на $3$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 6)$

Этап 1.1.4.10

Добавим $3 x$ и $2 x$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$

Этап 1.1.4.11

Развернем $(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Этап 1.1.4.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{3} x + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Этап 1.1.4.12.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.2.1

Перенесем $x$ .

$5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Этап 1.1.4.12.2.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Этап 1.1.4.12.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Этап 1.1.4.12.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$5 x^{4} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Этап 1.1.4.12.3

Перенесем $6$ влево от $x^{3}$ .

$5 x^{4} + 6 \cdot x^{3} + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Этап 1.1.4.12.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Этап 1.1.4.12.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.5.1

Перенесем $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Этап 1.1.4.12.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Этап 1.1.4.12.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Этап 1.1.4.12.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Этап 1.1.4.12.6

Умножим $6$ на $5$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Этап 1.1.4.12.7

Умножим $6$ на $6$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Этап 1.1.4.12.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x \cdot x + 9 x \cdot 6$

Этап 1.1.4.12.9

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.9.1

Перенесем $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 (x \cdot x) + 9 x \cdot 6$

Этап 1.1.4.12.9.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x^{2} + 9 x \cdot 6$

Этап 1.1.4.12.10

Умножим $9$ на $5$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 9 x \cdot 6$

Этап 1.1.4.12.11

Умножим $6$ на $9$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

Этап 1.1.4.13

Добавим $6 x^{3}$ и $30 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

Этап 1.1.4.14

Добавим $36 x^{2}$ и $45 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x^{4}$ .

$x (5 x^{3}) + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $36 x^{3}$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $81 x^{2}$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + 54 x = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $54 x$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (5 x^{3}) + x (36 x^{2})$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

Этап 2.2.1.6

Вынесем множитель $x$ из $x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x)$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54 = 0$

Этап 2.2.1.7

Вынесем множитель $x$ из $x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 5$

Этап 2.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 54, \pm 10.8, \pm 2, \pm 0.4, \pm 27, \pm 5.4, \pm 3, \pm 0.6, \pm 18, \pm 3.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 9, \pm 1.8$

Этап 2.2.2.3

Подставим $- 3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Подставим $- 3$ в многочлен.

$5 {(- 3)}^{3} + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Этап 2.2.2.3.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$5 \cdot - 27 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Этап 2.2.2.3.3

Умножим $5$ на $- 27$ .

$- 135 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Этап 2.2.2.3.4

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- 135 + 36 \cdot 9 + 81 \cdot - 3 + 54$

Этап 2.2.2.3.5

Умножим $36$ на $9$ .

$- 135 + 324 + 81 \cdot - 3 + 54$

Этап 2.2.2.3.6

Добавим $- 135$ и $324$ .

$189 + 81 \cdot - 3 + 54$

Этап 2.2.2.3.7

Умножим $81$ на $- 3$ .

$189 - 243 + 54$

Этап 2.2.2.3.8

Вычтем $243$ из $189$ .

$- 54 + 54$

Этап 2.2.2.3.9

Добавим $- 54$ и $54$ .

$0$

Этап 2.2.2.4

Поскольку $- 3$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54}{x + 3}$

Этап 2.2.2.5

Разделим $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ на $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$5 x^{3}$

$36 x^{2}$

$81 x$

$54$

Этап 2.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$

Этап 2.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			+	$5 x^{3}$	+	$15 x^{2}$

Этап 2.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{3} + 15 x^{2}$ .

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

Этап 2.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$

Этап 2.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

Этап 2.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $21 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

Этап 2.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$63 x$

Этап 2.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $21 x^{2} + 63 x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$

Этап 2.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$

Этап 2.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

Этап 2.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $18 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

Этап 2.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							+	$18 x$	+	$54$

Этап 2.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $18 x + 54$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$

Этап 2.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$
										$0$

Этап 2.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$5 x^{2} + 21 x + 18$

Этап 2.2.2.6

Запишем $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ в виде набора множителей.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 x + 18)) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot 18 = 90$ , а сумма — $b = 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1.1.1

Вынесем множитель $21$ из $21 x$ .

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 (x) + 18)) = 0$

Этап 2.2.3.1.1.1.2

Запишем $21$ как $6$ плюс $15$

$x ((x + 3) (5 x^{2} + (6 + 15) x + 18)) = 0$

Этап 2.2.3.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 6 x + 15 x + 18)) = 0$

Этап 2.2.3.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x ((x + 3) ((5 x^{2} + 6 x) + 15 x + 18)) = 0$

Этап 2.2.3.1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x ((x + 3) (x (5 x + 6) + 3 (5 x + 6))) = 0$

Этап 2.2.3.1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x + 6$ .

$x ((x + 3) ((5 x + 6) (x + 3))) = 0$

Этап 2.2.3.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x ((x + 3) (5 x + 6) (x + 3)) = 0$

Этап 2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 3) (5 x + 6) (x + 3) = 0$

Этап 2.2.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Возведем $x + 3$ в степень $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

Этап 2.2.4.2

Возведем $x + 3$ в степень $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

Этап 2.2.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x {(x + 3)}^{1 + 1} (5 x + 6) = 0$

Этап 2.2.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$5 x + 6 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 2.5.2

Решим ${(x + 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.6

Приравняем $5 x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $5 x + 6$ к $0$ .

$5 x + 6 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $5 x + 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$5 x = - 6$

Этап 2.6.2.2

Разделим каждый член $5 x = - 6$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = - 6$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Этап 2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Этап 2.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

Этап 2.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{6}{5}$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$ верно.

$x = 0, - 3, - \frac{6}{5}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, - 3, - \frac{6}{5}$ .

$0, - 3, - \frac{6}{5}$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6}{5}) \cup (- \frac{6}{5}, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = 5 {(- 4)}^{4} + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$f' (- 4) = 5 \cdot 256 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Этап 5.2.1.2

Умножим $5$ на $256$ .

$f' (- 4) = 1280 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$f' (- 4) = 1280 + 36 \cdot - 64 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Этап 5.2.1.4

Умножим $36$ на $- 64$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Этап 5.2.1.5

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 \cdot 16 + 54 (- 4)$

Этап 5.2.1.6

Умножим $81$ на $16$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 + 54 (- 4)$

Этап 5.2.1.7

Умножим $54$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 - 216$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $2304$ из $1280$ .

$f' (- 4) = - 1024 + 1296 - 216$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 1024$ и $1296$ .

$f' (- 4) = 272 - 216$

Этап 5.2.2.3

Вычтем $216$ из $272$ .

$f' (- 4) = 56$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $56$ .

$56$

Этап 5.3

При $x = - 4$ производная имеет вид $56$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 3)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 3)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 3, - \frac{6}{5})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.1$ .

$f' (- 2.1) = 5 {(- 2.1)}^{4} + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 2.1$ в степень $4$ .

$f' (- 2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Этап 6.2.1.2

Умножим $5$ на $19.4481$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 2.1$ в степень $3$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 \cdot - 9.261 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Этап 6.2.1.4

Умножим $36$ на $- 9.261$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Этап 6.2.1.5

Возведем $- 2.1$ в степень $2$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 \cdot 4.41 + 54 (- 2.1)$

Этап 6.2.1.6

Умножим $81$ на $4.41$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 + 54 (- 2.1)$

Этап 6.2.1.7

Умножим $54$ на $- 2.1$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 - 113.4$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $333.396$ из $97.2405$ .

$f' (- 2.1) = - 236.1555 + 357.21 - 113.4$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 236.1555$ и $357.21$ .

$f' (- 2.1) = 121.0545 - 113.4$

Этап 6.2.2.3

Вычтем $113.4$ из $121.0545$ .

$f' (- 2.1) = 7.6545$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $7.6545$ .

$7.6545$

Этап 6.3

При $x = - 2.1$ производная имеет вид $7.6545$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 3, - \frac{6}{5})$ .

Возрастание в области $(- 3, - \frac{6}{5})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1.2, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.6$ .

$f' (- 0.6) = 5 {(- 0.6)}^{4} + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 0.6$ в степень $4$ .

$f' (- 0.6) = 5 \cdot 0.1296 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Этап 7.2.1.2

Умножим $5$ на $0.1296$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Этап 7.2.1.3

Возведем $- 0.6$ в степень $3$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 \cdot - 0.216 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Этап 7.2.1.4

Умножим $36$ на $- 0.216$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Этап 7.2.1.5

Возведем $- 0.6$ в степень $2$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 \cdot 0.36 + 54 (- 0.6)$

Этап 7.2.1.6

Умножим $81$ на $0.36$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 + 54 (- 0.6)$

Этап 7.2.1.7

Умножим $54$ на $- 0.6$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 - 32.4$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $7.776$ из $0.648$ .

$f' (- 0.6) = - 7.128 + 29.16 - 32.4$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 7.128$ и $29.16$ .

$f' (- 0.6) = 22.032 - 32.4$

Этап 7.2.2.3

Вычтем $32.4$ из $22.032$ .

$f' (- 0.6) = - 10.368$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 10.368$ .

$- 10.368$

Этап 7.3

При $x = - 0.6$ производная имеет вид $- 10.368$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 1.2, 0)$ .

Убывание на $(- \frac{6}{5}, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 5 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Этап 8.2.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Этап 8.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 5 + 36 \cdot 1 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Этап 8.2.1.4

Умножим $36$ на $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Этап 8.2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 5 + 36 + 81 \cdot 1 + 54 (1)$

Этап 8.2.1.6

Умножим $81$ на $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54 (1)$

Этап 8.2.1.7

Умножим $54$ на $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54$

Этап 8.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим $5$ и $36$ .

$f' (1) = 41 + 81 + 54$

Этап 8.2.2.2

Добавим $41$ и $81$ .

$f' (1) = 122 + 54$

Этап 8.2.2.3

Добавим $122$ и $54$ .

$f' (1) = 176$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $176$ .

$176$

Этап 8.3

При $x = 1$ производная имеет вид $176$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 3), (- 3, - \frac{6}{5}), (0, \infty)$

Убывание на: $(- \frac{6}{5}, 0)$

Этап 10