Математический анализ Примеры

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ , $[1, 5]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

По правилу суммы производная $x + \frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

Этап 1.1.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Этап 1.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

Этап 1.2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 1$

Этап 1.2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 1.2.4

Каждый член в $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ на $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Этап 1.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - x^{2}$

Этап 1.2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- x^{2} = - 1$ .

$- x^{2} = - 1$

Этап 1.2.5.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Этап 1.2.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 1.2.5.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 1.2.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 1.2.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 1.2.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 1.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 1.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 1.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.4

Вычислим $x + \frac{1}{x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$(1) + \frac{1}{1}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Разделим $1$ на $1$ .

$1 + 1$

Этап 1.4.1.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$2$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$(- 1) + \frac{1}{- 1}$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$- 1 - 1$

Этап 1.4.2.2.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$- 2$

Этап 1.4.3

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$(0) + \frac{1}{0}$

Этап 1.4.3.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 1.4.4

Перечислим все точки.

$(1, 2), (- 1, - 2)$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

$(1, 2)$

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$(1) + \frac{1}{1}$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим $1$ на $1$ .

$1 + 1$

Этап 3.1.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$2$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $5$ вместо $x$ .

$(5) + \frac{1}{5}$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$5 \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}$

Этап 3.2.2.2

Объединим $5$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5}$

Этап 3.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 \cdot 5 + 1}{5}$

Этап 3.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.4.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{25 + 1}{5}$

Этап 3.2.2.4.2

Добавим $25$ и $1$ .

$\frac{26}{5}$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(1, 2), (5, \frac{26}{5})$

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(5, \frac{26}{5})$

Абсолютный минимум: $(1, 2)$

Этап 5