Математический анализ Примеры

$f (x) = 1 - x^{\frac{1}{3}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $1 - x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Этап 1.1.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 1.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 1.1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 1.1.2.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.1.2.9

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.3

Вычтем $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ из $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 4.2

Зададим знаменатель в $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 4.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Упростим ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 4.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 4.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 4.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 4.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Этап 4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Этап 4.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим каждый член $27 x^{2} = 0$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Разделим каждый член $27 x^{2} = 0$ на $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 4.3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 4.3.3.1.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Этап 4.3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.3.1

Разделим $0$ на $27$ .

$x^{2} = 0$

Этап 4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.3.3.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.3.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 4.3.3.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 1 - x^{\frac{1}{3}}$ в интервале $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Этап 6.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Этап 6.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{2}}$

Этап 6.2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 \cdot 1}$

Этап 6.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{3}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- \frac{1}{3}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{3 {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - \frac{1}{3 \cdot 1}$

Этап 7.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{3}$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Этап 7.3

При $x = 1$ производная имеет вид $- \frac{1}{3}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Убывание на $(0, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Этап 9