Математический анализ Примеры

$y = 2 x^{2} + 7 x - 5$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = 2 x^{2} + 7 x - 5$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 7 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.3.3

Умножим $7$ на $1$ .

$4 x + 7 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x + 7 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $4 x + 7$ и $0$ .

$4 x + 7$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x + 7 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 7$

Этап 3.2

Разделим каждый член $4 x = - 7$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 7$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 7}{4}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7}{4}$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = 2 x^{2} + 7 x - 5$ в точке $x = - \frac{7}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{7}{4}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 2 {(- \frac{7}{4})}^{2} + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{7}{4}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{4})}^{2}) + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Этап 4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{7}{4}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{4^{2}})) + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Этап 4.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 2 (1 (\frac{7^{2}}{4^{2}})) + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Этап 4.2.1.3

Умножим $\frac{7^{2}}{4^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 2 (\frac{7^{2}}{4^{2}}) + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Этап 4.2.1.4

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{4^{2}}) + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Этап 4.2.1.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{16}) + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Этап 4.2.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{2 (8)}) + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Этап 4.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{2 \cdot 8}) + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Этап 4.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} + 7 (- \frac{7}{4}) - 5$

Этап 4.2.1.7

Умножим $7 (- \frac{7}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - 7 (\frac{7}{4}) - 5$

Этап 4.2.1.7.2

Объединим $- 7$ и $\frac{7}{4}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} + \frac{- 7 \cdot 7}{4} - 5$

Этап 4.2.1.7.3

Умножим $- 7$ на $7$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} + \frac{- 49}{4} - 5$

Этап 4.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49}{4} - 5$

Этап 4.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $\frac{49}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - (\frac{49}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 5$

Этап 4.2.2.2

Умножим $\frac{49}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 5$

Этап 4.2.2.3

Запишем $- 5$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 5}{1}$

Этап 4.2.2.4

Умножим $\frac{- 5}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Этап 4.2.2.5

Умножим $\frac{- 5}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 5 \cdot 8}{8}$

Этап 4.2.2.6

Изменим порядок множителей в $4 \cdot 2$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 5 \cdot 8}{8}$

Этап 4.2.2.7

Умножим $2$ на $4$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{8} + \frac{- 5 \cdot 8}{8}$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49 - 49 \cdot 2 - 5 \cdot 8}{8}$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $- 49$ на $2$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49 - 98 - 5 \cdot 8}{8}$

Этап 4.2.4.2

Умножим $- 5$ на $8$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{49 - 98 - 40}{8}$

Этап 4.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вычтем $98$ из $49$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{- 49 - 40}{8}$

Этап 4.2.5.2

Вычтем $40$ из $- 49$ .

$f (- \frac{7}{4}) = \frac{- 89}{8}$

Этап 4.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{7}{4}) = - \frac{89}{8}$

Этап 4.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{89}{8}$ .

$- \frac{89}{8}$

Этап 5

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = 2 x^{2} + 7 x - 5$ : $y = - \frac{89}{8}$ .

$y = - \frac{89}{8}$

Этап 6