Математический анализ Примеры

$y^{6} + x^{3} = y^{2} + 12 x$

Этап 1

Set each solution of $y^{6} + x^{3}$ as a function of $x$ .

$y = y^{2} + 12 x \to f (x) = y^{2} + 12 x$

Этап 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{6} + x^{3} = y^{2} + 12 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{6} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 12 x)$

Этап 2.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $y^{6} + x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{6}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$6 y^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 y^{5} y' + 3 x^{2}$

Этап 2.2.3.2

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y'$

Этап 2.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $y^{2} + 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 2.3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 2.3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 2.3.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 2.3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 y y' + 12 \cdot 1$

Этап 2.3.3.3

Умножим $12$ на $1$ .

$2 y y' + 12$

Этап 2.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y' = 2 y y' + 12$

Этап 2.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вычтем $2 y y'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y' - 2 y y' = 12$

Этап 2.5.2

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$6 y^{5} y' - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $6 y^{5} y' - 2 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вынесем множитель $2 y y'$ из $6 y^{5} y'$ .

$2 y y' (3 y^{4}) - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Этап 2.5.3.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $- 2 y y'$ .

$2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' \cdot - 1 = 12 - 3 x^{2}$

Этап 2.5.3.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$

Этап 2.5.4

Разделим каждый член $2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ на $2 y (3 y^{4} - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Разделим каждый член $2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ на $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$\frac{2 y y' (3 y^{4} - 1)}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Этап 2.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y' (3 y^{4} - 1)}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Этап 2.5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (3 y^{4} - 1)}{y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Этап 2.5.4.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y' (3 y^{4} - 1)}{y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Этап 2.5.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (3 y^{4} - 1)}{3 y^{4} - 1} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Этап 2.5.4.2.3

Сократим общий множитель $3 y^{4} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 y^{4} - 1)}{3 y^{4} - 1} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Этап 2.5.4.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Этап 2.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Этап 2.5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (3 y^{4} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Этап 2.5.4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (3 y^{4} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Этап 2.5.4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Этап 2.5.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Этап 2.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$

Этап 3.2

Разделим каждый член $- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}}{- 1} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}}{1} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Этап 3.2.2.2

Разделим $\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$ на $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{1}$

Этап 3.2.3.2

Разделим $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ на $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$

Этап 3.3

Умножим обе части на $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Упростим $\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Этап 3.4.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y (3 y^{4} - 1))} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Этап 3.4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y (3 y^{4} - 1))} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Этап 3.4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{2}}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Этап 3.4.1.1.3

Сократим общий множитель $y (3 y^{4} - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Этап 3.4.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x^{2} = 2 \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $2 \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Объединим $2$ и $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ .

$3 x^{2} = \frac{2 \cdot 6}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Этап 3.4.2.1.2.2

Умножим $2$ на $6$ .

$3 x^{2} = \frac{12}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Этап 3.4.2.1.3

Сократим общий множитель $y (3 y^{4} - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} = \frac{12}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Этап 3.4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} = 12$

Этап 3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = 12$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = 12$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Этап 3.5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Этап 3.5.1.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Этап 3.5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.3.1

Разделим $12$ на $3$ .

$x^{2} = 4$

Этап 3.5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 3.5.3

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 3.5.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 3.5.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 3.5.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 3.5.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 4

Solve the function $f (x) = y^{2} + 12 x$ at $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = y^{2} + 12 (2)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $12$ на $2$ .

$f (2) = y^{2} + 24$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $y^{2} + 24$ .

$y^{2} + 24$

Этап 5

Solve the function $f (x) = y^{2} + 12 x$ at $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = y^{2} + 12 (- 2)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $12$ на $- 2$ .

$f (- 2) = y^{2} - 24$

Этап 5.2.2

Окончательный ответ: $y^{2} - 24$ .

$y^{2} - 24$

Этап 6

The horizontal tangent lines are $y = y^{2} + 24, y = y^{2} - 24$

$y = y^{2} + 24, y = y^{2} - 24$

Этап 7