Математический анализ Примеры

$10 \sec (x) + 5 \tan (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 \sec (x)$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \tan (x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$

Этап 2.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\sec (x)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 4

Вычислим $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{7 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{7 π}{6}$ вместо $x$ .

$10 \sec (\frac{7 π}{6}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как секанс принимает отрицательные значения в третьем квадранте.

$10 (- \sec (\frac{π}{6})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.2

Точное значение $\sec (\frac{π}{6})$ : $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- \frac{2}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.4.6.5

Найдем экспоненту.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $10$ .

$- 10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.5.2

Объединим $- 10$ и $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- 10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.5.3

Умножим $2$ на $- 10$ .

$\frac{- 20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.7

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{π}{6})$

Этап 4.1.2.1.8

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.1.9

Объединим $5$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 20 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $- 20 \sqrt{3}$ и $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 15 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.2.3

Сократим общий множитель $- 15$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 15 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3}$

Этап 4.1.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

Этап 4.1.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

Этап 4.1.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{1}$

Этап 4.1.2.2.3.2.4

Разделим $- 5 \sqrt{3}$ на $1$ .

$- 5 \sqrt{3}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{11 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{11 π}{6}$ вместо $x$ .

$10 \sec (\frac{11 π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$10 \sec (\frac{π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.2

Точное значение $\sec (\frac{π}{6})$ : $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$10 \frac{2}{\sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.4.6.5

Найдем экспоненту.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $10 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.5.1

Объединим $10$ и $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.5.2

Умножим $2$ на $10$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.2.2.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный в четвертом квадранте.

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \tan (\frac{π}{6}))$

Этап 4.2.2.1.7

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.2.1.8

Умножим $5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.8.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 4.2.2.1.8.2

Объединим $- 5$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.2.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.2.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{20 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.2.2.2.2

Вычтем $5 \sqrt{3}$ из $20 \sqrt{3}$ .

$\frac{15 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.2.2.2.3

Сократим общий множитель $15$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $15 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3}$

Этап 4.2.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

Этап 4.2.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

Этап 4.2.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \sqrt{3}}{1}$

Этап 4.2.2.2.3.2.4

Разделим $5 \sqrt{3}$ на $1$ .

$5 \sqrt{3}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{7 π}{6} + 2 π n, - 5 \sqrt{3}), (\frac{11 π}{6} + 2 π n, 5 \sqrt{3})$ , для любого целого $n$

Этап 5