Математический анализ Примеры

$f (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = 4 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 1.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 1.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 1.1.5.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 1.1.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 1.1.6.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 1.1.6.3

Перенесем ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 1.1.7

По правилу суммы производная $4 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 1.1.8

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 1.1.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- (2 x))$

Этап 1.1.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.12.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- 2 x)$

Этап 1.1.12.2

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} x$

Этап 1.1.12.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{- 4}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} x$

Этап 1.1.12.4

Объединим $\frac{- 4}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ и $x$ .

$\frac{- 4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.12.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 x = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- \frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(4 - x^{2})}^{1}}}$

Этап 3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$- \frac{4 x}{3 \sqrt[3]{4 - x^{2}}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{4 - x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{4 - x^{2}} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{4 - x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4 - x^{2}}$ в виде ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 {(4 - x^{2})}^{1} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.4

Упростим.

$27 (4 - x^{2}) = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$27 \cdot 4 + 27 (- x^{2}) = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.6.1

Умножим $27$ на $4$ .

$108 + 27 (- x^{2}) = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $27$ .

$108 - 27 x^{2} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$108 - 27 x^{2} = 0$

Этап 3.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вычтем $108$ из обеих частей уравнения.

$- 27 x^{2} = - 108$

Этап 3.3.3.2

Разделим каждый член $- 27 x^{2} = - 108$ на $- 27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Разделим каждый член $- 27 x^{2} = - 108$ на $- 27$ .

$\frac{- 27 x^{2}}{- 27} = \frac{- 108}{- 27}$

Этап 3.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 27 x^{2}}{- 27} = \frac{- 108}{- 27}$

Этап 3.3.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 108}{- 27}$

Этап 3.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.3.1

Разделим $- 108$ на $- 27$ .

$x^{2} = 4$

Этап 3.3.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 3.3.3.4

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 3.3.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 3.3.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 3.3.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 3.3.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 3.4

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Этап 4

Вычислим ${(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(4 - {(0)}^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

${(4 - 0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

${(4 + 0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

${(4 - {(- 2)}^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

${(4 - 1 \cdot 4)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

${(4 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.2.2.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.2.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$0^{2}$

Этап 4.2.2.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

${(4 - {(2)}^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

${(4 - 1 \cdot 4)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

${(4 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.3.2.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.3.2.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.3.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$0^{2}$

Этап 4.3.2.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 4^{\frac{2}{3}}), (- 2, 0), (2, 0)$

Этап 5