Математический анализ Примеры

$y = x e^{2 x}$

Этап 1

Найдем, где выражение $x e^{2 x}$ не определено.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to - \infty} x e^{2 x}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $x e^{2 x}$ в виде $\frac{x}{e^{- 2 x}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- 2 x}}$

Этап 3.2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Этап 3.2.1.2

Для многочлена нечетной степени, старший коэффициент которого положителен, предел в минус бесконечности равен минус бесконечности.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Этап 3.2.1.3

Поскольку показатель степени $- 2 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{- 2 x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 3.2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 3.2.2

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- 2 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Этап 3.2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Этап 3.2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Этап 3.2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Этап 3.2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Этап 3.2.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 3.2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)}$

Этап 3.2.3.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} \cdot - 2}$

Этап 3.2.3.7

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- 2 x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 2 e^{- 2 x}}$

Этап 3.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{2 e^{- 2 x}}$

Этап 3.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 e^{- 2 x}}$

Этап 3.3.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Этап 3.4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ стремится к $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 3.5

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2})$

Этап 3.5.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$0$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 0$

Этап 5

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Нет наклонных асимптот

Этап 7