Математический анализ Примеры

$h (x) = \frac{1}{\sqrt{7 x^{2} + 6}}$

Этап 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{7 x^{2} + 6}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$7 x^{2} + 6 \geq 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей неравенства.

$7 x^{2} \geq - 6$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $7 x^{2} \geq - 6$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $7 x^{2} \geq - 6$ на $7$ .

$\frac{7 x^{2}}{7} \geq \frac{- 6}{7}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x^{2}}{7} \geq \frac{- 6}{7}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 6}{7}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} \geq - \frac{6}{7}$

Этап 1.2.3

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Этап 1.3

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt{7 x^{2} + 6}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{7 x^{2} + 6} = 0$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{7 x^{2} + 6}}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 x^{2} + 6}$ в виде ${(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим ${({(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(7 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(7 x^{2} + 6)}^{1} = 0^{2}$

Этап 1.4.2.2.1.2

Упростим.

$7 x^{2} + 6 = 0^{2}$

Этап 1.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$7 x^{2} + 6 = 0$

Этап 1.4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$7 x^{2} = - 6$

Этап 1.4.3.2

Разделим каждый член $7 x^{2} = - 6$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Разделим каждый член $7 x^{2} = - 6$ на $7$ .

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{- 6}{7}$

Этап 1.4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{- 6}{7}$

Этап 1.4.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{7}$

Этап 1.4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{6}{7}$

Этап 1.4.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{6}{7}}$

Этап 1.4.3.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{6}{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.4.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{6}{7}}$

Этап 1.4.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{6}{7}}$

Этап 1.4.3.4.3

Перепишем $\sqrt{\frac{6}{7}}$ в виде $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$

Этап 1.4.3.4.4

Умножим $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Этап 1.4.3.4.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.4.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 1.4.3.4.5.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Этап 1.4.3.4.5.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Этап 1.4.3.4.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Этап 1.4.3.4.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Этап 1.4.3.4.5.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.4.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.4.3.4.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.4.3.4.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.4.3.4.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.4.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.4.3.4.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Этап 1.4.3.4.5.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

Этап 1.4.3.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.4.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm i \frac{\sqrt{6 \cdot 7}}{7}$

Этап 1.4.3.4.6.2

Умножим $6$ на $7$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{42}}{7}$

Этап 1.4.3.4.7

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{42}}{7}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{7}$

Этап 1.4.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{7}$

Этап 1.4.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{42}}{7}$

Этап 1.4.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{7}, - \frac{i \sqrt{42}}{7}$

Этап 1.5

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

Поскольку область определения — это все вещественные числа, $\frac{1}{\sqrt{7 x^{2} + 6}}$ непрерывно на множестве всех вещественных чисел.

Непрерывные

Этап 3