Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} \frac{x^{4} - 625}{x^{3} - 125}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{4} - 625}{lim_{x \to 5} x^{3} - 125}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{4} - lim_{x \to 5} 625}{lim_{x \to 5} x^{3} - 125}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{4} - lim_{x \to 5} 625}{lim_{x \to 5} x^{3} - 125}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $625$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{4} - 1 \cdot 625}{lim_{x \to 5} x^{3} - 125}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{5^{4} - 1 \cdot 625}{lim_{x \to 5} x^{3} - 125}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Возведем $5$ в степень $4$ .

$\frac{625 - 1 \cdot 625}{lim_{x \to 5} x^{3} - 125}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $625$ .

$\frac{625 - 625}{lim_{x \to 5} x^{3} - 125}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $625$ из $625$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{3} - 125}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{3} - lim_{x \to 5} 125}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{3} - lim_{x \to 5} 125}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $125$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{3} - 1 \cdot 125}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{0}{5^{3} - 1 \cdot 125}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{0}{125 - 1 \cdot 125}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $125$ .

$\frac{0}{125 - 125}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $125$ из $125$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{4} - 625}{x^{3} - 125} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 625]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 125]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 625]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 125]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{4} - 625$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 625]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 625]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 125]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 625]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 125]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 625$ является константой относительно $x$ , производная $- 625$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 125]}$

Этап 1.3.5

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 125]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x^{3} - 125$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x^{3}}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 125]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 125$ является константой относительно $x$ , производная $- 125$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x^{3}}{3 x^{2} + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x^{3}}{3 x^{2}}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} (4 x)}{3 x^{2}}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} \cdot 3}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} \cdot 3}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{3}$

Этап 2

Вынесем член $\frac{4}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4}{3} lim_{x \to 5} x$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot 5$

Этап 4

Умножим $\frac{4}{3} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и $5$ .

$\frac{4 \cdot 5}{3}$

Этап 4.2

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{20}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{20}{3}$

Десятичная форма:

$6.\overline{6}$