Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x e^{- 7 x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x e^{- 7 x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x e^{- 7 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x e^{- 7 x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{- 7 x}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}] + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 7 x$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 7 x$ .

$4 (x (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x (e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1)) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $- 7$ на $1$ .

$4 (x (e^{- 7 x} \cdot - 7) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.3.2

Перенесем $- 7$ влево от $e^{- 7 x}$ .

$4 (x (- 7 \cdot e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \cdot 1)$

Этап 1.4.5

Умножим $e^{- 7 x}$ на $1$ .

$4 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x (- 7 e^{- 7 x})) + 4 e^{- 7 x}$

Этап 1.5.2

Умножим $- 7$ на $4$ .

$- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x}$

Этап 1.5.3

Изменим порядок членов.

$- 28 e^{- 7 x} x + 4 e^{- 7 x}$

Этап 1.5.4

Изменим порядок множителей в $- 28 e^{- 7 x} x + 4 e^{- 7 x}$ .

$- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 28 x e^{- 7 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{- 7 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 28 x e^{- 7 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 28 x e^{- 7 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 28$ является константой относительно $x$ , производная $- 28 x e^{- 7 x}$ по $x$ равна $- 28 \frac{d}{d x} [x e^{- 7 x}]$ .

$f'' (x) = - 28 \frac{d}{d x} (x e^{- 7 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = - 28 (x \frac{d}{d x} (e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- 7 x$ .

$f'' (x) = - 28 (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 7 x)) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 28 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 7 x)) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- 7 x$ .

$f'' (x) = - 28 (x (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} (- 7 x)) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 28 (x (e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 28 (x (e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1)) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 28 (x (e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1)) + e^{- 7 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Этап 2.2.7

Умножим $- 7$ на $1$ .

$f'' (x) = - 28 (x (e^{- 7 x} \cdot - 7) + e^{- 7 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Этап 2.2.8

Перенесем $- 7$ влево от $e^{- 7 x}$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 \cdot e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Этап 2.2.9

Умножим $e^{- 7 x}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 e^{- 7 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 e^{- 7 x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) + 4 \frac{d}{d x} (e^{- 7 x})$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 7 x$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) + 4 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 7 x))$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) + 4 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 7 x))$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 7 x$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) + 4 (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} (- 7 x))$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) + 4 (e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} x))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) + 4 (e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1))$

Этап 2.3.5

Умножим $- 7$ на $1$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) + 4 (e^{- 7 x} \cdot - 7)$

Этап 2.3.6

Перенесем $- 7$ влево от $e^{- 7 x}$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) + 4 (- 7 \cdot e^{- 7 x})$

Этап 2.3.7

Умножим $- 7$ на $4$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) - 28 e^{- 7 x}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x})) - 28 e^{- 7 x} - 28 e^{- 7 x}$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $- 7$ на $- 28$ .

$f'' (x) = 196 (x (e^{- 7 x})) - 28 e^{- 7 x} - 28 e^{- 7 x}$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $28 e^{- 7 x}$ из $- 28 e^{- 7 x}$ .

$f'' (x) = 196 x e^{- 7 x} - 56 e^{- 7 x}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 196 e^{- 7 x} x - 56 e^{- 7 x}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок множителей в $196 e^{- 7 x} x - 56 e^{- 7 x}$ .

$f'' (x) = 196 x e^{- 7 x} - 56 e^{- 7 x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x e^{- 7 x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x e^{- 7 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x e^{- 7 x}]$

Этап 4.1.2

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}] + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 7 x$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.2

$4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 7 x$ .

$4 (x (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x (e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1)) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1

Умножим $- 7$ на $1$ .

$4 (x (e^{- 7 x} \cdot - 7) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.3.2

Перенесем $- 7$ влево от $e^{- 7 x}$ .

$4 (x (- 7 \cdot e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \cdot 1)$

Этап 4.1.4.5

Умножим $e^{- 7 x}$ на $1$ .

$4 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x})$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x (- 7 e^{- 7 x})) + 4 e^{- 7 x}$

Этап 4.1.5.2

Умножим $- 7$ на $4$ .

$- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x}$

Этап 4.1.5.3

Изменим порядок членов.

$- 28 e^{- 7 x} x + 4 e^{- 7 x}$

Этап 4.1.5.4

Изменим порядок множителей в $- 28 e^{- 7 x} x + 4 e^{- 7 x}$ .

$f' (x) = - 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x}$ .

$- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $4 e^{- 7 x}$ из $- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4 e^{- 7 x}$ из $- 28 x e^{- 7 x}$ .

$4 e^{- 7 x} (- 7 x) + 4 e^{- 7 x} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $4 e^{- 7 x}$ из $4 e^{- 7 x}$ .

$4 e^{- 7 x} (- 7 x) + 4 e^{- 7 x} (1) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $4 e^{- 7 x}$ из $4 e^{- 7 x} (- 7 x) + 4 e^{- 7 x} (1)$ .

$4 e^{- 7 x} (- 7 x + 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- 7 x} = 0$

$- 7 x + 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $e^{- 7 x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $e^{- 7 x}$ к $0$ .

$e^{- 7 x} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $e^{- 7 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- 7 x}) = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.4.2.3

Нет решения для $e^{- 7 x} = 0$

Нет решения

Этап 5.5

Приравняем $- 7 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $- 7 x + 1$ к $0$ .

$- 7 x + 1 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $- 7 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 7 x = - 1$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $- 7 x = - 1$ на $- 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $- 7 x = - 1$ на $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 1}{- 7}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 1}{- 7}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 7}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{7}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 e^{- 7 x} (- 7 x + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{7}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{7}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{7}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$196 (\frac{1}{7}) e^{- 7 (\frac{1}{7})} - 56 e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Вынесем множитель $7$ из $196$ .

$7 (28) \frac{1}{7} e^{- 7 (\frac{1}{7})} - 56 e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Этап 9.1.1.2

Сократим общий множитель.

$7 \cdot 28 \frac{1}{7} e^{- 7 (\frac{1}{7})} - 56 e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Этап 9.1.1.3

Перепишем это выражение.

$28 e^{- 7 (\frac{1}{7})} - 56 e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Этап 9.1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$28 e^{7 (- 1) \frac{1}{7}} - 56 e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Этап 9.1.2.2

Сократим общий множитель.

$28 e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{7}} - 56 e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Этап 9.1.2.3

Перепишем это выражение.

$28 e^{- 1} - 56 e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Этап 9.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$28 \frac{1}{e} - 56 e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Этап 9.1.4

Объединим $28$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{28}{e} - 56 e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Этап 9.1.5

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$\frac{28}{e} - 56 e^{7 (- 1) \frac{1}{7}}$

Этап 9.1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{28}{e} - 56 e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{7}}$

Этап 9.1.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{28}{e} - 56 e^{- 1}$

Этап 9.1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{28}{e} - 56 \frac{1}{e}$

Этап 9.1.7

Объединим $- 56$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{28}{e} + \frac{- 56}{e}$

Этап 9.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{28}{e} - \frac{56}{e}$

Этап 9.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{28 - 56}{e}$

Этап 9.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вычтем $56$ из $28$ .

$\frac{- 28}{e}$

Этап 9.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{28}{e}$

Этап 10

$x = \frac{1}{7}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{7}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{7}$ .

$f (\frac{1}{7}) = 4 (\frac{1}{7}) \cdot e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{7}$ .

$f (\frac{1}{7}) = \frac{4}{7} \cdot e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Этап 11.2.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$f (\frac{1}{7}) = \frac{4}{7} \cdot e^{7 (- 1) (\frac{1}{7})}$

Этап 11.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{7}) = \frac{4}{7} \cdot e^{7 \cdot (- 1 (\frac{1}{7}))}$

Этап 11.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{7}) = \frac{4}{7} \cdot e^{- 1}$

Этап 11.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{1}{7}) = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{e}$

Этап 11.2.4

Умножим $\frac{4}{7}$ на $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{7}) = \frac{4}{7 e}$

Этап 11.2.5

Окончательный ответ: $\frac{4}{7 e}$ .

$y = \frac{4}{7 e}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 4 x e^{- 7 x}$ .

$(\frac{1}{7}, \frac{4}{7 e})$ — локальный максимум

Этап 13