Математический анализ Примеры

$f (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 \sin (x) \cos (x)$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$9 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$9 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$9 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.5

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$9 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.8

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Этап 1.9

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Этап 1.10

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Этап 1.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Этап 1.12

Добавим $1$ и $1$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Этап 1.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (- \sin^{2} (x)) + 9 \cos^{2} (x)$

Этап 1.13.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 9 \sin^{2} (x) + 9 \cos^{2} (x)$

Этап 1.13.3

Перепишем $9 \cos^{2} (x)$ в виде ${(3 \cos (x))}^{2}$ .

$- 9 \sin^{2} (x) + {(3 \cos (x))}^{2}$

Этап 1.13.4

Перепишем $9 \sin^{2} (x)$ в виде ${(3 \sin (x))}^{2}$ .

$- {(3 \sin (x))}^{2} + {(3 \cos (x))}^{2}$

Этап 1.13.5

Изменим порядок $- {(3 \sin (x))}^{2}$ и ${(3 \cos (x))}^{2}$ .

${(3 \cos (x))}^{2} - {(3 \sin (x))}^{2}$

Этап 1.13.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 \cos (x)$ и $b = 3 \sin (x)$ .

$(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (3 \cos (x) - (3 \sin (x)))$

Этап 1.13.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$

Этап 1.13.8

Развернем $(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cos (x) (3 \cos (x) - 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$

Этап 1.13.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$

Этап 1.13.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Этап 1.13.9

Объединим противоположные члены в $3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.9.1

Изменим порядок множителей в членах $3 \cos (x) (- 3 \sin (x))$ и $3 \sin (x) (3 \cos (x))$ .

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) - 3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Этап 1.13.9.2

Добавим $- 3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x)$ и $3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x)$ .

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 0 + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Этап 1.13.9.3

Добавим $3 \cos (x) (3 \cos (x))$ и $0$ .

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Этап 1.13.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.10.1

Умножим $3 \cos (x) (3 \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.10.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$9 \cos (x) \cos (x) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Этап 1.13.10.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$9 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Этап 1.13.10.1.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$9 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Этап 1.13.10.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Этап 1.13.10.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$9 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Этап 1.13.10.2

Умножим $3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.10.2.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin (x) \sin (x)$

Этап 1.13.10.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Этап 1.13.10.2.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Этап 1.13.10.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 \cos^{2} (x) - 9 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Этап 1.13.10.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 9 \sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 \cos^{2} (x)$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 9 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 9 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Этап 2.2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 9 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Этап 2.2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = 9 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Этап 2.2.5

Умножим $- 2$ на $9$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 \sin^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 \sin^{2} (x)$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Этап 2.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (2 \sin (x) \cos (x))$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x)$

Этап 2.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Изменим порядок множителей в $- 18 \sin (x) \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \cos (x) \sin (x)$

Этап 2.4.2

Вычтем $18 \cos (x) \sin (x)$ из $- 18 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 36 \cos (x) \sin (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 4

Разложим $9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $9$ из $9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 \cos^{2} (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 9 \sin^{2} (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) + 9 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $9$ из $9 \cos^{2} (x) + 9 (- \sin^{2} (x))$ .

$9 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (x)$ и $b = \sin (x)$ .

$9 ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

Этап 4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$9 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 6

Приравняем $\cos (x) + \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\cos (x) + \sin (x)$ к $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Этап 6.2

Решим $\cos (x) + \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6.2.4

Разделим дроби.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 6.2.5

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 6.2.6

Разделим $0$ на $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 6.2.7

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Этап 6.2.8

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) = - 1$

Этап 6.2.9

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 6.2.10

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.10.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.11

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 6.2.12

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.12.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 6.2.12.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 6.2.13

Решение уравнения $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Этап 7

Приравняем $\cos (x) - \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $\cos (x) - \sin (x)$ к $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 7.2

Решим $\cos (x) - \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7.2.3

Разделим дроби.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7.2.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7.2.5

Разделим $- 1$ на $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7.2.6

Разделим дроби.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 7.2.7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 7.2.8

Разделим $0$ на $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 7.2.9

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Этап 7.2.10

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (x) = - 1$

Этап 7.2.11

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.11.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 7.2.11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.11.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 7.2.11.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 7.2.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.11.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Этап 7.2.12

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 7.2.13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.13.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 7.2.14

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 7.2.15

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.15.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.2.15.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.15.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.2.15.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 7.2.15.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.15.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 7.2.15.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 7.2.16

Решение уравнения $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $9 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ верно.

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = - \frac{π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 36 \cos (- \frac{π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 36 \cos (\frac{7 π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

Этап 10.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 36 \cos (\frac{π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

Этап 10.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 36 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Этап 10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$2 (- 18) \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Этап 10.4.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 18 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Этап 10.4.3

Перепишем это выражение.

$- 18 \sqrt{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Этап 10.5

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 18 \sqrt{2} \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 10.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- 18 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 10.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 18 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 10.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$- 18 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 10.8.2

Вынесем множитель $2$ из $- 18 \sqrt{2}$ .

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 10.8.3

Сократим общий множитель.

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 10.8.4

Перепишем это выражение.

$- 9 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Этап 10.9

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Этап 10.10

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Этап 10.11

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Этап 10.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Этап 10.13

Добавим $1$ и $1$ .

$9 {\sqrt{2}}^{2}$

Этап 10.14

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.14.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 10.14.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 10.14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 10.14.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.14.4.1

Сократим общий множитель.

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 10.14.4.2

Перепишем это выражение.

$9 \cdot 2^{1}$

Этап 10.14.5

Найдем экспоненту.

$9 \cdot 2$

Этап 10.15

Умножим $9$ на $2$ .

$18$

Этап 11

$x = - \frac{π}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{π}{4}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{π}{4}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 9 \sin (- \frac{π}{4}) \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 9 \sin (\frac{7 π}{4}) \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 12.2.2

$f (- \frac{π}{4}) = 9 (- \sin (\frac{π}{4})) \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 12.2.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 9 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 12.2.4

Умножим $9 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 9 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 12.2.4.2

Объединим $- 9$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 12.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

Этап 12.2.6

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{4})$

Этап 12.2.7

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4})$

Этап 12.2.8

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 12.2.9

Умножим $- \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.9.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} (9 \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Этап 12.2.9.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Этап 12.2.9.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Этап 12.2.9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 12.2.9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 12.2.9.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 12.2.10

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Этап 12.2.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Этап 12.2.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 12.2.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.10.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 12.2.10.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Этап 12.2.10.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Этап 12.2.11

Умножим $9$ на $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{18}{4}$

Этап 12.2.12

Сократим общий множитель $18$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.12.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{2 (9)}{4}$

Этап 12.2.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Этап 12.2.12.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Этап 12.2.12.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9}{2}$

Этап 12.2.13

Окончательный ответ: $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 36 \cos (\frac{3 π}{4}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- 36 (- \cos (\frac{π}{4})) \sin (\frac{3 π}{4})$

Этап 14.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 36 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Этап 14.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$- 36 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Этап 14.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$2 (- 18) \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Этап 14.3.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 18 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Этап 14.3.4

Перепишем это выражение.

$- 18 (- \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Этап 14.4

Умножим $- 1$ на $- 18$ .

$18 \sqrt{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Этап 14.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$18 \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 14.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$18 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 14.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.1

Вынесем множитель $2$ из $18 \sqrt{2}$ .

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 14.7.2

Сократим общий множитель.

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 14.7.3

Перепишем это выражение.

$9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Этап 14.8

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Этап 14.9

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Этап 14.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Этап 14.11

Добавим $1$ и $1$ .

$9 {\sqrt{2}}^{2}$

Этап 14.12

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.12.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 14.12.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 14.12.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 14.12.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.12.4.1

Сократим общий множитель.

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 14.12.4.2

Перепишем это выражение.

$9 \cdot 2^{1}$

Этап 14.12.5

Найдем экспоненту.

$9 \cdot 2$

Этап 14.13

Умножим $9$ на $2$ .

$18$

Этап 15

$x = \frac{3 π}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 π}{4}$ — локальный минимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 9 \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{3 π}{4}) = 9 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 16.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 9 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 16.2.3

Объединим $9$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 16.2.4

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4}))$

Этап 16.2.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.6

Умножим $\frac{9 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.6.1

Умножим $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 16.2.6.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Этап 16.2.6.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Этап 16.2.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 16.2.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 16.2.6.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 16.2.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Этап 16.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Этап 16.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 16.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 16.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Этап 16.2.7.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Этап 16.2.8

Умножим $9$ на $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{18}{4}$

Этап 16.2.9

Сократим общий множитель $18$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.9.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 (9)}{4}$

Этап 16.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Этап 16.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Этап 16.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9}{2}$

Этап 16.2.10

Окончательный ответ: $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Этап 17

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 36 \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Этап 18

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 36 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 18.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$2 (- 18) \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 18.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 18 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 18.2.3

Перепишем это выражение.

$- 18 \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 18.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 18 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 18.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18 \sqrt{2}$ .

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 18.4.2

Сократим общий множитель.

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 18.4.3

Перепишем это выражение.

$- 9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Этап 18.5

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Этап 18.6

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Этап 18.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Этап 18.8

Добавим $1$ и $1$ .

$- 9 {\sqrt{2}}^{2}$

Этап 18.9

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 18.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 18.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 18.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.9.4.1

Сократим общий множитель.

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 18.9.4.2

Перепишем это выражение.

$- 9 \cdot 2^{1}$

Этап 18.9.5

Найдем экспоненту.

$- 9 \cdot 2$

Этап 18.10

Умножим $- 9$ на $2$ .

$- 18$

Этап 19

$x = \frac{π}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{4}$ — локальный максимум

Этап 20

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 9 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Этап 20.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 9 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{4})$

Этап 20.2.2

Объединим $9$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4})$

Этап 20.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 20.2.4

Умножим $\frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.4.1

Умножим $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 20.2.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Этап 20.2.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Этап 20.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 20.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 20.2.4.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 20.2.5

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Этап 20.2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Этап 20.2.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 20.2.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 20.2.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

Этап 20.2.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

Этап 20.2.6

Умножим $9$ на $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{18}{4}$

Этап 20.2.7

Сократим общий множитель $18$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (9)}{4}$

Этап 20.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Этап 20.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Этап 20.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9}{2}$

Этап 20.2.8

Окончательный ответ: $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Этап 21

Найдем вторую производную в $x = \frac{5 π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 36 \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 22

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$- 36 (- \cos (\frac{π}{4})) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 22.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 36 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 22.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$- 36 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 22.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$2 (- 18) \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 22.3.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 18 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 22.3.4

Перепишем это выражение.

$- 18 (- \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 22.4

Умножим $- 1$ на $- 18$ .

$18 \sqrt{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 22.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$18 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 22.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$18 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 22.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$18 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 22.7.2

Вынесем множитель $2$ из $18 \sqrt{2}$ .

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 22.7.3

Сократим общий множитель.

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 22.7.4

Перепишем это выражение.

$9 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Этап 22.8

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Этап 22.9

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Этап 22.10

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Этап 22.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Этап 22.12

Добавим $1$ и $1$ .

$- 9 {\sqrt{2}}^{2}$

Этап 22.13

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.13.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 22.13.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 22.13.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 22.13.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.13.4.1

Сократим общий множитель.

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Этап 22.13.4.2

Перепишем это выражение.

$- 9 \cdot 2^{1}$

Этап 22.13.5

Найдем экспоненту.

$- 9 \cdot 2$

Этап 22.14

Умножим $- 9$ на $2$ .

$- 18$

Этап 23

$x = \frac{5 π}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{5 π}{4}$ — локальный максимум

Этап 24

Найдем значение y, если $x = \frac{5 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{4}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 9 \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 24.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

$f (\frac{5 π}{4}) = 9 (- \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 24.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 9 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 24.2.3

Умножим $9 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.3.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - 9 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 24.2.3.2

Объединим $- 9$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 24.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 24.2.5

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4}))$

Этап 24.2.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 24.2.7

Умножим $- \frac{9 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 (\frac{9 \sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 24.2.7.2

Умножим $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 24.2.7.3

Умножим $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 24.2.7.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Этап 24.2.7.5

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Этап 24.2.7.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 24.2.7.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 24.2.7.8

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 24.2.8

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Этап 24.2.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Этап 24.2.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 24.2.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.8.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 24.2.8.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

Этап 24.2.8.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

Этап 24.2.9

Умножим $9$ на $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{18}{4}$

Этап 24.2.10

Сократим общий множитель $18$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.10.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (9)}{4}$

Этап 24.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Этап 24.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Этап 24.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9}{2}$

Этап 24.2.11

Окончательный ответ: $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Этап 25

Это локальные экстремумы $f (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{4}, - \frac{9}{2})$ — локальный минимум

$(\frac{3 π}{4}, - \frac{9}{2})$ — локальный минимум

$(\frac{π}{4}, \frac{9}{2})$ — локальный максимум

$(\frac{5 π}{4}, \frac{9}{2})$ — локальный максимум

Этап 26