Математический анализ Примеры

$x^{\frac{4}{5}} {(x - 6)}^{2}$

Этап 1

Запишем $x^{\frac{4}{5}} {(x - 6)}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = x^{\frac{4}{5}} {(x - 6)}^{2}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(x - 6)}^{2}$ в виде $(x - 6) (x - 6)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} ((x - 6) (x - 6))]$

Этап 2.2

Развернем $(x - 6) (x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x (x - 6) - 6 (x - 6))]$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6))]$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)]$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)]$

Этап 2.3.1.2

Перенесем $- 6$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6)]$

Этап 2.3.1.3

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 6 x - 6 x + 36)]$

Этап 2.3.2

Вычтем $6 x$ из $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 12 x + 36)]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{4}{5}}$ и $g (x) = x^{2} - 12 x + 36$ .

$x^{\frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36] + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 12 x + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$x^{\frac{4}{5}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 2.5.3

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 2.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 2.5.5

Умножим $- 12$ на $1$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 2.5.6

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 + 0) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 2.5.7

Добавим $2 x - 12$ и $0$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 2.5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{4}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Этап 2.9.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Этап 2.11

Объединим $\frac{4}{5}$ и $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Этап 2.12

Перенесем $x^{- \frac{1}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1

Умножим $x^{\frac{4}{5}}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{4}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.1.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x^{\frac{5}{5} + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{5 + 4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.1.5

Добавим $5$ и $4$ .

$x^{\frac{9}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.2

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{9}{5}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{9}{5}} + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.3

Перенесем $- 12$ влево от $x^{\frac{4}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 \cdot x^{\frac{4}{5}} + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.4

Объединим $x^{2}$ и $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.5

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 \cdot x^{2}}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.6

Перенесем $x^{\frac{1}{5}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{2} x^{- \frac{1}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.7

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{1}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.7.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 (x^{- \frac{1}{5}} x^{2})}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.7.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.7.4

Объединим $2$ и $\frac{5}{5}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 5}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.7.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.7.6.1

Умножим $2$ на $5$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 10}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.7.6.2

Добавим $- 1$ и $10$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.8

Объединим $- 12$ и $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x \frac{- 12 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.9

Умножим $- 12$ на $4$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x \frac{- 48}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.10

Объединим $x$ и $\frac{- 48}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{x \cdot - 48}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.11

Перенесем $- 48$ влево от $x$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 \cdot x}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.12

Перенесем $x^{\frac{1}{5}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x \cdot x^{- \frac{1}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.13

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.13.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 (x^{- \frac{1}{5}} x)}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.13.2

Умножим $x^{- \frac{1}{5}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.13.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 (x^{- \frac{1}{5}} x^{1})}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.13.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{- \frac{1}{5} + 1}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.13.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{- \frac{1}{5} + \frac{5}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.13.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{\frac{- 1 + 5}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.13.5

Добавим $- 1$ и $5$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.15

Объединим $36$ и $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{36 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.16

Умножим $36$ на $4$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.17

Чтобы записать $2 x^{\frac{9}{5}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + 2 x^{\frac{9}{5}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.18

Объединим $2 x^{\frac{9}{5}}$ и $\frac{5}{5}$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5 + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.20

Умножим $5$ на $2$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{10 x^{\frac{9}{5}} + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.21

Добавим $10 x^{\frac{9}{5}}$ и $4 x^{\frac{9}{5}}$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.22

Чтобы записать $- 12 x^{\frac{4}{5}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.23

Объединим $- 12 x^{\frac{4}{5}}$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{- 12 x^{\frac{4}{5}} \cdot 5}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 12 x^{\frac{4}{5}} \cdot 5 - 48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.25

Умножим $5$ на $- 12$ .

$\frac{- 60 x^{\frac{4}{5}} - 48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.26

Вычтем $48 x^{\frac{4}{5}}$ из $- 60 x^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{- 108 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.3.27

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.13.4

Изменим порядок членов.

$\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $\frac{14}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}$ по $x$ равна $\frac{14}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{9}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{9}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.2.6.2

Вычтем $5$ из $9$ .

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.2.7

Объединим $\frac{9}{5}$ и $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.2.8

Умножим $\frac{14}{5}$ на $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (9 x^{\frac{4}{5}})}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.2.9

Умножим $9$ на $14$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.2.10

Умножим $5$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $\frac{144}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ по $x$ равна $\frac{144}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.5.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.9.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.11

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.12

Объединим $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ и $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5}} x^{- \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.13

Умножим $x^{- \frac{4}{5}}$ на $x^{- \frac{2}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.13.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.13.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.13.3

Вычтем $2$ из $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 6}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.13.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.14

Перенесем $x^{- \frac{6}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.15

Умножим $\frac{144}{5}$ на $\frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{5 (5 x^{\frac{6}{5}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.3.16

Умножим $5$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- \frac{108}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ по $x$ равна $- \frac{108}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{5}}$

Этап 3.4.2

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Этап 3.4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 3.4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 3.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 3.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Этап 3.4.6.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Этап 3.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Этап 3.4.8

Объединим $\frac{4}{5}$ и $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Этап 3.4.9

Умножим $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ на $\frac{108}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{4 x^{- \frac{1}{5}} \cdot 108}{5 \cdot 5}$

Этап 3.4.10

Умножим $108$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 x^{- \frac{1}{5}}}{5 \cdot 5}$

Этап 3.4.11

Умножим $5$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 x^{- \frac{1}{5}}}{25}$

Этап 3.4.12

Перенесем $x^{- \frac{1}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем ${(x - 6)}^{2}$ в виде $(x - 6) (x - 6)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} ((x - 6) (x - 6))]$

Этап 5.1.2

Развернем $(x - 6) (x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x (x - 6) - 6 (x - 6))]$

Этап 5.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6))]$

Этап 5.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)]$

Этап 5.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)]$

Этап 5.1.3.1.2

Перенесем $- 6$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6)]$

Этап 5.1.3.1.3

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 6 x - 6 x + 36)]$

Этап 5.1.3.2

Вычтем $6 x$ из $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 12 x + 36)]$

Этап 5.1.4

$x^{\frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36] + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 5.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 12 x + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$x^{\frac{4}{5}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 5.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 5.1.5.3

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 5.1.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 5.1.5.5

Умножим $- 12$ на $1$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 5.1.5.6

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 + 0) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 5.1.5.7

Добавим $2 x - 12$ и $0$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 5.1.5.8

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Этап 5.1.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 5.1.7

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 5.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 5.1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Этап 5.1.9.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Этап 5.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Этап 5.1.11

Объединим $\frac{4}{5}$ и $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Этап 5.1.12

Перенесем $x^{- \frac{1}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.13.3.1

Умножим $x^{\frac{4}{5}}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.13.3.1.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{4}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.13.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.1.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x^{\frac{5}{5} + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{5 + 4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.1.5

Добавим $5$ и $4$ .

$x^{\frac{9}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.2

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{9}{5}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{9}{5}} + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.3

Перенесем $- 12$ влево от $x^{\frac{4}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 \cdot x^{\frac{4}{5}} + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.4

Объединим $x^{2}$ и $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.5

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 \cdot x^{2}}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.6

Перенесем $x^{\frac{1}{5}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{2} x^{- \frac{1}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.7

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{1}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.13.3.7.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 (x^{- \frac{1}{5}} x^{2})}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.7.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.7.4

Объединим $2$ и $\frac{5}{5}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 5}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.7.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.13.3.7.6.1

Умножим $2$ на $5$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 10}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.7.6.2

Добавим $- 1$ и $10$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.8

Объединим $- 12$ и $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x \frac{- 12 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.9

Умножим $- 12$ на $4$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x \frac{- 48}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.10

Объединим $x$ и $\frac{- 48}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{x \cdot - 48}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.11

Перенесем $- 48$ влево от $x$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 \cdot x}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.12

Перенесем $x^{\frac{1}{5}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x \cdot x^{- \frac{1}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.13

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.13.3.13.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 (x^{- \frac{1}{5}} x)}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.13.2

Умножим $x^{- \frac{1}{5}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.13.3.13.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 (x^{- \frac{1}{5}} x^{1})}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.13.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{- \frac{1}{5} + 1}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.13.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{- \frac{1}{5} + \frac{5}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.13.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{\frac{- 1 + 5}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.13.5

Добавим $- 1$ и $5$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.15

Объединим $36$ и $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{36 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.16

Умножим $36$ на $4$ .

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.17

Чтобы записать $2 x^{\frac{9}{5}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + 2 x^{\frac{9}{5}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.18

Объединим $2 x^{\frac{9}{5}}$ и $\frac{5}{5}$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5 + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.20

Умножим $5$ на $2$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{10 x^{\frac{9}{5}} + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.21

Добавим $10 x^{\frac{9}{5}}$ и $4 x^{\frac{9}{5}}$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.22

Чтобы записать $- 12 x^{\frac{4}{5}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- 12 x^{\frac{4}{5}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.23

Объединим $- 12 x^{\frac{4}{5}}$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{- 12 x^{\frac{4}{5}} \cdot 5}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 12 x^{\frac{4}{5}} \cdot 5 - 48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.25

Умножим $5$ на $- 12$ .

$\frac{- 60 x^{\frac{4}{5}} - 48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.26

Вычтем $48 x^{\frac{4}{5}}$ из $- 60 x^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{- 108 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.3.27

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5.1.13.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ .

$\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$

Этап 6.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 5, 1$

Этап 6.2.2

Так как $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 5, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $5, 5, 5, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{\frac{1}{5}}$ .

Этап 6.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 6.2.4

Поскольку $5$ не имеет множителей, кроме $1$ и $5$ .

$5$ — простое число

Этап 6.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 6.2.6

НОК $5, 5, 5, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$5$

Этап 6.2.7

НОК $x^{\frac{1}{5}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{1}{5}}$

Этап 6.2.8

НОК $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 5, 1$ представляет собой произведение числовой части $5$ и переменной части.

$5 x^{\frac{1}{5}}$

Этап 6.3

Каждый член в $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$ умножим на $5 x^{\frac{1}{5}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим каждый член $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$ на $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$14 x^{\frac{9}{5}} x^{\frac{1}{5}} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.3

Умножим $x^{\frac{9}{5}}$ на $x^{\frac{1}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.3.1

Перенесем $x^{\frac{1}{5}}$ .

$14 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{9}{5}}) + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$14 x^{\frac{1}{5} + \frac{9}{5}} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$14 x^{\frac{1 + 9}{5}} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.3.4

Добавим $1$ и $9$ .

$14 x^{\frac{10}{5}} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.3.5

Разделим $10$ на $5$ .

$14 x^{2} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$14 x^{2} + 5 \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$14 x^{2} + 5 \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$14 x^{2} + \frac{144}{x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.6

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$14 x^{2} + \frac{144}{x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$14 x^{2} + 144 - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.7

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ в числитель.

$14 x^{2} + 144 + \frac{- 108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.7.2

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$14 x^{2} + 144 + \frac{- 108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 (x^{\frac{1}{5}})) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.7.3

Сократим общий множитель.

$14 x^{2} + 144 + \frac{- 108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.7.4

Перепишем это выражение.

$14 x^{2} + 144 - 108 x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{1}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.8

Умножим $x^{\frac{4}{5}}$ на $x^{\frac{1}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.8.1

Перенесем $x^{\frac{1}{5}}$ .

$14 x^{2} + 144 - 108 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{4}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$14 x^{2} + 144 - 108 x^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.8.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$14 x^{2} + 144 - 108 x^{\frac{1 + 4}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.8.4

Добавим $1$ и $4$ .

$14 x^{2} + 144 - 108 x^{\frac{5}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.8.5

Разделим $5$ на $5$ .

$14 x^{2} + 144 - 108 x^{1} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.2.1.9

Упростим $- 108 x^{1}$ .

$14 x^{2} + 144 - 108 x = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим $0 (5 x^{\frac{1}{5}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$14 x^{2} + 144 - 108 x = 0 x^{\frac{1}{5}}$

Этап 6.3.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{\frac{1}{5}}$ .

$14 x^{2} + 144 - 108 x = 0$

Этап 6.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $14 x^{2} + 144 - 108 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $14 x^{2}$ .

$2 (7 x^{2}) + 144 - 108 x = 0$

Этап 6.4.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $144$ .

$2 (7 x^{2}) + 2 (72) - 108 x = 0$

Этап 6.4.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 108 x$ .

$2 (7 x^{2}) + 2 (72) + 2 (- 54 x) = 0$

Этап 6.4.1.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (7 x^{2}) + 2 (72)$ .

$2 (7 x^{2} + 72) + 2 (- 54 x) = 0$

Этап 6.4.1.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (7 x^{2} + 72) + 2 (- 54 x)$ .

$2 (7 x^{2} + 72 - 54 x) = 0$

Этап 6.4.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.1.1

Изменим порядок членов.

$2 (7 x^{2} - 54 x + 72) = 0$

Этап 6.4.1.2.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 7 \cdot 72 = 504$ , а сумма — $b = - 54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $- 54$ из $- 54 x$ .

$2 (7 x^{2} - 54 x + 72) = 0$

Этап 6.4.1.2.1.2.2

Запишем $- 54$ как $- 12$ плюс $- 42$

$2 (7 x^{2} + (- 12 - 42) x + 72) = 0$

Этап 6.4.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (7 x^{2} - 12 x - 42 x + 72) = 0$

Этап 6.4.1.2.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 ((7 x^{2} - 12 x) - 42 x + 72) = 0$

Этап 6.4.1.2.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (x (7 x - 12) - 6 (7 x - 12)) = 0$

Этап 6.4.1.2.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $7 x - 12$ .

$2 ((7 x - 12) (x - 6)) = 0$

Этап 6.4.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (7 x - 12) (x - 6) = 0$

Этап 6.4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$7 x - 12 = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 6.4.3

Приравняем $7 x - 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Приравняем $7 x - 12$ к $0$ .

$7 x - 12 = 0$

Этап 6.4.3.2

Решим $7 x - 12 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$7 x = 12$

Этап 6.4.3.2.2

Разделим каждый член $7 x = 12$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.2.1

Разделим каждый член $7 x = 12$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{12}{7}$

Этап 6.4.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{12}{7}$

Этап 6.4.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{12}{7}$

Этап 6.4.4

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 6.4.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 6.4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (7 x - 12) (x - 6) = 0$ верно.

$x = \frac{12}{7}, 6$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

Этап 7.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{144}{5 \sqrt[5]{x^{1}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

Этап 7.1.3

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{144}{5 \sqrt[5]{x^{1}}} - \frac{108 \sqrt[5]{x^{4}}}{5}$

Этап 7.1.4

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{144}{5 \sqrt[5]{x}} - \frac{108 \sqrt[5]{x^{4}}}{5}$

Этап 7.2

Зададим знаменатель в $\frac{144}{5 \sqrt[5]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 \sqrt[5]{x} = 0$

Этап 7.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $5$ .

${(5 \sqrt[5]{x})}^{5} = 0^{5}$

Этап 7.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 7.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Упростим ${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 7.3.2.2.1.2

Возведем $5$ в степень $5$ .

$3125 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 7.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Этап 7.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Этап 7.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$3125 x^{1} = 0^{5}$

Этап 7.3.2.2.1.4

Упростим.

$3125 x = 0^{5}$

Этап 7.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3125 x = 0$

Этап 7.3.3

Разделим каждый член $3125 x = 0$ на $3125$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Разделим каждый член $3125 x = 0$ на $3125$ .

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Этап 7.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Этап 7.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{3125}$

Этап 7.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.1

Разделим $0$ на $3125$ .

$x = 0$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{12}{7}, 6, 0$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{12}{7}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{126 {(\frac{12}{7})}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Применим правило умножения к $\frac{12}{7}$ .

$\frac{126 \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}}}{25} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 10.1.2

Объединим $126$ и $\frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}}}{25} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 10.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{1}{25} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 10.1.4

Объединим.

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}} \cdot 1}{7^{\frac{4}{5}} \cdot 25} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 10.1.5

Умножим $126$ на $1$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}} \cdot 25} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 10.1.6

Перенесем $25$ влево от $7^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 10.1.7

Применим правило умножения к $\frac{12}{7}$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144}{25 \frac{12^{\frac{6}{5}}}{7^{\frac{6}{5}}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 10.1.8

Объединим $25$ и $\frac{12^{\frac{6}{5}}}{7^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144}{\frac{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}{7^{\frac{6}{5}}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 10.1.9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - (144 \frac{7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}) - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 10.1.10

Объединим $144$ и $\frac{7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 10.1.11

Применим правило умножения к $\frac{12}{7}$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 \frac{12^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}}$

Этап 10.1.12

Объединим $25$ и $\frac{12^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{\frac{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}}$

Этап 10.1.13

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - (432 \frac{7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}})$

Этап 10.1.14

Объединим $432$ и $\frac{7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}}$

Этап 10.2

Чтобы записать $- \frac{432 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12^{\frac{5}{5}}}{12^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{12^{\frac{5}{5}}}{12^{\frac{5}{5}}}$

Этап 10.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $\frac{432 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}}$ на $\frac{12^{\frac{5}{5}}}{12^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 12^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}} \cdot 12^{\frac{5}{5}}}$

Этап 10.3.2

Умножим $12^{\frac{1}{5}}$ на $12^{\frac{5}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Перенесем $12^{\frac{5}{5}}$ .

Этап 10.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

Этап 10.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

Этап 10.3.2.4

Добавим $5$ и $1$ .

Этап 10.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 144 \cdot 7^{\frac{6}{5}} - 432 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 12^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}$

Этап 10.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 144 \cdot 7^{\frac{6}{5}} - 432 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 12^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}$

Этап 10.5.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 144 \cdot 7^{\frac{6}{5}} - 432 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 12^{1}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}$

Этап 10.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Найдем экспоненту.

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 144 \cdot 7^{\frac{6}{5}} - 432 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 12}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}$

Этап 10.5.2.2

Умножим $12$ на $- 432$ .

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 144 \cdot 7^{\frac{6}{5}} - 5184 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}$

Этап 11

$x = \frac{12}{7}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{12}{7}$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \frac{12}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{12}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = {(\frac{12}{7})}^{\frac{4}{5}} {((\frac{12}{7}) - 6)}^{2}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Применим правило умножения к $\frac{12}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {((\frac{12}{7}) - 6)}^{2}$

Этап 12.2.2

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{12}{7} - 6 \cdot \frac{7}{7})}^{2}$

Этап 12.2.3

Объединим $- 6$ и $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{12}{7} + \frac{- 6 \cdot 7}{7})}^{2}$

Этап 12.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{12 - 6 \cdot 7}{7})}^{2}$

Этап 12.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Умножим $- 6$ на $7$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{12 - 42}{7})}^{2}$

Этап 12.2.5.2

Вычтем $42$ из $12$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{- 30}{7})}^{2}$

Этап 12.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(- \frac{30}{7})}^{2}$

Этап 12.2.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{30}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{30}{7})}^{2})$

Этап 12.2.7.2

Применим правило умножения к $\frac{30}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{30^{2}}{7^{2}}))$

Этап 12.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.8.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot (1 (\frac{30^{2}}{7^{2}}))$

Этап 12.2.8.2

Умножим $\frac{30^{2}}{7^{2}}$ на $1$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{30^{2}}{7^{2}}$

Этап 12.2.9

Объединим.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{4}{5}} \cdot 7^{2}}$

Этап 12.2.10

Умножим $7^{\frac{4}{5}}$ на $7^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.10.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{4}{5} + 2}}$

Этап 12.2.10.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}$

Этап 12.2.10.3

Объединим $2$ и $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}$

Этап 12.2.10.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{4 + 2 \cdot 5}{5}}}$

Этап 12.2.10.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.10.5.1

Умножим $2$ на $5$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{4 + 10}{5}}}$

Этап 12.2.10.5.2

Добавим $4$ и $10$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{14}{5}}}$

Этап 12.2.11

Возведем $30$ в степень $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 900}{7^{\frac{14}{5}}}$

Этап 12.2.12

Перенесем $900$ влево от $12^{\frac{4}{5}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{900 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{14}{5}}}$

Этап 12.2.13

Окончательный ответ: $\frac{900 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{14}{5}}}$ .

$y = \frac{900 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{14}{5}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 6$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{126 {(6)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 {(6)}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(6)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Избавимся от скобок.

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 \cdot 6^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.2

Чтобы записать $- \frac{432}{25 \cdot 6^{\frac{1}{5}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6^{\frac{5}{5}}}{6^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 \cdot 6^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{6^{\frac{5}{5}}}{6^{\frac{5}{5}}}$

Этап 14.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $\frac{432}{25 \cdot 6^{\frac{1}{5}}}$ на $\frac{6^{\frac{5}{5}}}{6^{\frac{5}{5}}}$ .

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 6^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 6^{\frac{1}{5}} \cdot 6^{\frac{5}{5}}}$

Этап 14.3.2

Умножим $6^{\frac{1}{5}}$ на $6^{\frac{5}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Перенесем $6^{\frac{5}{5}}$ .

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 6^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot (6^{\frac{5}{5}} \cdot 6^{\frac{1}{5}})}$

Этап 14.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 6^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 6^{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}}}$

Этап 14.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 6^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 6^{\frac{5 + 1}{5}}}$

Этап 14.3.2.4

Добавим $5$ и $1$ .

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 6^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

Этап 14.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 144 - 432 \cdot 6^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

Этап 14.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Разделим $5$ на $5$ .

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 144 - 432 \cdot 6^{1}}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

Этап 14.5.2

Возведем $6$ в степень $1$ .

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 144 - 432 \cdot 6}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

Этап 14.5.3

Умножим $- 432$ на $6$ .

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 144 - 2592}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

Этап 14.5.4

Вычтем $2592$ из $- 144$ .

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 2736}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

Этап 14.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{2736}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

Этап 15

$x = 6$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 6$ — локальный минимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = {(6)}^{\frac{4}{5}} {((6) - 6)}^{2}$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Вычтем $6$ из $6$ .

$f (6) = 6^{\frac{4}{5}} \cdot 0^{2}$

Этап 16.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (6) = 6^{\frac{4}{5}} \cdot 0$

Этап 16.2.3

Умножим $6^{\frac{4}{5}}$ на $0$ .

$f (6) = 0$

Этап 16.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 17

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 18

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 {(0^{5})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 18.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 18.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 18.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 0^{6}} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 18.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 0} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 18.3.2

Умножим $25$ на $0$ .

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{0} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 18.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{0} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 18.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 19

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{12}{7}) \cup (\frac{12}{7}, 6) \cup (6, \infty)$

Этап 19.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5}$

Этап 19.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 2) = \frac{14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}} - 108 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 19.2.2.2

Окончательный ответ: $\frac{14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}} - 108 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}} - 108 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 19.3

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(0, \frac{12}{7})$ в первую производную $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{14 {(1)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 {(1)}^{\frac{4}{5}}}{5}$

Этап 19.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (1) = \frac{14 {(1)}^{\frac{9}{5}} - 108 {(1)}^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 19.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = \frac{14 \cdot 1 - 108 {(1)}^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 19.3.2.2.2

Умножим $14$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{14 - 108 {(1)}^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 19.3.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = \frac{14 - 108 \cdot 1}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 19.3.2.2.4

Умножим $- 108$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{14 - 108}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 19.3.2.3

Вычтем $108$ из $14$ .

$f' (1) = \frac{- 94}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 19.3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.2.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (1) = - \frac{94}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 19.3.2.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - \frac{94}{5} + \frac{144}{5 \cdot 1}$

Этап 19.3.2.4.3

Умножим $5$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{94}{5} + \frac{144}{5}$

Этап 19.3.2.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (1) = \frac{- 94 + 144}{5}$

Этап 19.3.2.5.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.2.5.2.1

Добавим $- 94$ и $144$ .

$f' (1) = \frac{50}{5}$

Этап 19.3.2.5.2.2

Разделим $50$ на $5$ .

$f' (1) = 10$

Этап 19.3.2.6

Окончательный ответ: $10$ .

$10$

Этап 19.4

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(\frac{12}{7}, 6)$ в первую производную $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = \frac{14 {(4)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(4)}^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 {(4)}^{\frac{4}{5}}}{5}$

Этап 19.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (4) = \frac{14 \cdot 4^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 4^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 \cdot 4^{\frac{4}{5}}}{5}$

Этап 19.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (4) = \frac{14 \cdot 4^{\frac{9}{5}} - 108 \cdot 4^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 4^{\frac{1}{5}}}$

Этап 19.4.2.3

Окончательный ответ: $\frac{14 \cdot 4^{\frac{9}{5}} - 108 \cdot 4^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 4^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{14 \cdot 4^{\frac{9}{5}} - 108 \cdot 4^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 4^{\frac{1}{5}}}$

Этап 19.5

Подставим любое число такое, что $8$ , из интервала $(6, \infty)$ в первую производную $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f' (8) = \frac{14 {(8)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(8)}^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 {(8)}^{\frac{4}{5}}}{5}$

Этап 19.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.5.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (8) = \frac{14 \cdot 8^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{5}$

Этап 19.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (8) = \frac{14 \cdot 8^{\frac{9}{5}} - 108 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$

Этап 19.5.2.3

Окончательный ответ: $\frac{14 \cdot 8^{\frac{9}{5}} - 108 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{14 \cdot 8^{\frac{9}{5}} - 108 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$

Этап 19.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 19.7

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = \frac{12}{7}$ , $x = \frac{12}{7}$ — локальный максимум.

$x = \frac{12}{7}$ — локальный максимум

Этап 19.8

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 6$ , $x = 6$ — локальный минимум.

$x = 6$ — локальный минимум

Этап 19.9

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{\frac{4}{5}} {(x - 6)}^{2}$ .

$x = 0$ — локальный минимум

$x = \frac{12}{7}$ — локальный максимум

$x = 6$ — локальный минимум

$x = 0$ — локальный минимум

$x = \frac{12}{7}$ — локальный максимум

$x = 6$ — локальный минимум

Этап 20