Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{4 x}{5 - \sqrt{x + 25}}$

Этап 1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{x}{5 - \sqrt{x + 25}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$4 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 5 - \sqrt{x + 25}}$

Этап 2.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} 5 - \sqrt{x + 25}}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} 5 - lim_{x \to 0} \sqrt{x + 25}}$

Этап 2.1.3.1.2

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$4 \frac{0}{5 - lim_{x \to 0} \sqrt{x + 25}}$

Этап 2.1.3.1.3

Внесем предел под знак радикала.

$4 \frac{0}{5 - \sqrt{lim_{x \to 0} x + 25}}$

Этап 2.1.3.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \frac{0}{5 - \sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 25}}$

Этап 2.1.3.1.5

Найдем предел $25$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$4 \frac{0}{5 - \sqrt{lim_{x \to 0} x + 25}}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{0}{5 - \sqrt{0 + 25}}$

Этап 2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.1

Добавим $0$ и $25$ .

$4 \frac{0}{5 - \sqrt{25}}$

Этап 2.1.3.3.1.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$4 \frac{0}{5 - \sqrt{5^{2}}}$

Этап 2.1.3.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$4 \frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Этап 2.1.3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$4 \frac{0}{5 - 5}$

Этап 2.1.3.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$4 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$4 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$4 (\frac{0}{0})$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{5 - \sqrt{x + 25}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x + 25}]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x + 25}]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x + 25}]}$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $5 - \sqrt{x + 25}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 25}]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 25}]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 25}]}$

Этап 2.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 25}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 25}$ в виде ${(x + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 25)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 2.3.5.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- {(x + 25)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [{(x + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 25)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 2.3.5.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 25$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 25]}$

Этап 2.3.5.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 25]}$

Этап 2.3.5.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 25$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 25]}$

Этап 2.3.5.4

По правилу суммы производная $x + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])}$

Этап 2.3.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [25])}$

Этап 2.3.5.6

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)}$

Этап 2.3.5.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)}$

Этап 2.3.5.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}$

Этап 2.3.5.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}$

Этап 2.3.5.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)}$

Этап 2.3.5.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)}$

Этап 2.3.5.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)}$

Этап 2.3.5.12

Добавим $1$ и $0$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2} {(x + 25)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1}$

Этап 2.3.5.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{{(x + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1}$

Этап 2.3.5.14

Умножим $\frac{{(x + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{{(x + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Этап 2.3.5.15

Перенесем ${(x + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{1}{2 {(x + 25)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.3.6

Вычтем $\frac{1}{2 {(x + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ из $0$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(x + 25)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$4 lim_{x \to 0} 1 \cdot - 1 \cdot 2 {(x + 25)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.5

Перепишем ${(x + 25)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x + 25}$ .

$4 lim_{x \to 0} 1 \cdot - 1 \cdot 2 \sqrt{x + 25}$

Этап 2.6

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 lim_{x \to 0} 1 \cdot - 2 \sqrt{x + 25}$

Этап 2.6.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$4 lim_{x \to 0} - 2 \sqrt{x + 25}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \cdot - 2 lim_{x \to 0} \sqrt{x + 25}$

Этап 3.2

Внесем предел под знак радикала.

$4 \cdot - 2 \sqrt{lim_{x \to 0} x + 25}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \cdot - 2 \sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 25}$

Этап 3.4

Найдем предел $25$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$4 \cdot - 2 \sqrt{lim_{x \to 0} x + 25}$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \cdot - 2 \sqrt{0 + 25}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- 8 \sqrt{0 + 25}$

Этап 5.2

Добавим $0$ и $25$ .

$- 8 \sqrt{25}$

Этап 5.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$- 8 \sqrt{5^{2}}$

Этап 5.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- 8 \cdot 5$

Этап 5.5

Умножим $- 8$ на $5$ .

$- 40$