Математический анализ Примеры

$y = x^{2} - 5 x + 6$ , $y = x - 2$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} - 5 x + 6 = x - 2$

Этап 1.2

Решим $x^{2} - 5 x + 6 = x - 2$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 5 x + 6 - x = - 2$

Этап 1.2.1.2

Вычтем $x$ из $- 5 x$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = - 2$

Этап 1.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 6 x + 6 + 2 = 0$

Этап 1.2.3

Добавим $6$ и $2$ .

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Этап 1.2.4

Разложим $x^{2} - 6 x + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $- 6$ .

$- 4, - 2 + y = x - 2$

Этап 1.2.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Этап 1.2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0 + y = x - 2$

Этап 1.2.6

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 1.2.6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 1.2.7

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 4, 2$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = (4) - 2$

Этап 1.3.2

Подставим $4$ вместо $x$ в $y = (4) - 2$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 4 - 2$

Этап 1.3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (4) - 2$

Этап 1.3.2.3

Вычтем $2$ из $4$ .

$y = 2$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = (2) - 2$

Этап 1.4.2

Подставим $2$ вместо $x$ в $y = (2) - 2$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 - 2$

Этап 1.4.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (2) - 2$

Этап 1.4.2.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$y = 0$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(4, 2)$

$(2, 0)$

$(4, 2)$

$(2, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{2}^{4} x - 2 d x - \int_{2}^{4} x^{2} - 5 x + 6 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{2}^{4} x - 2 - (x^{2} - 5 x + 6) d x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 2 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6$

Этап 3.2.2.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 6$

$\int_{2}^{4} x - 2 - x^{2} + 5 x - 6 d x$

Этап 3.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $x$ и $5 x$ .

$6 x - 2 - x^{2} - 6$

Этап 3.3.2

Вычтем $6$ из $- 2$ .

$6 x - x^{2} - 8$

$\int_{2}^{4} 6 x - x^{2} - 8 d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{4} 6 x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Этап 3.5

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - \int_{2}^{4} x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Этап 3.9

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Этап 3.10

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Этап 3.11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + - 8 x]_{2}^{4}$

Этап 3.12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $2$ .

$6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + - 8 x]_{2}^{4}$

Этап 3.12.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $2$ .

$6 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + - 8 x]_{2}^{4}$

Этап 3.12.3

Найдем значение $- 8 x$ в $4$ и в $2$ .

$6 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$6 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$6 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.2.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$6 (8 - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$6 (8 - \frac{4}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$6 (8 - \frac{2}{1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$6 (8 - 1 \cdot 2) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 (8 - 2) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.6

Вычтем $2$ из $8$ .

$6 \cdot 6 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.7

Умножим $6$ на $6$ .

$36 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.8

Возведем $4$ в степень $3$ .

$36 - (\frac{64}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.9

Возведем $2$ в степень $3$ .

$36 - (\frac{64}{3} - \frac{8}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$36 - \frac{64 - 8}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.11

Вычтем $8$ из $64$ .

$36 - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.12

Чтобы записать $36$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$36 \cdot \frac{3}{3} - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.13

Объединим $36$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{36 \cdot 3}{3} - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{36 \cdot 3 - 56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.15.1

Умножим $36$ на $3$ .

$\frac{108 - 56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.15.2

Вычтем $56$ из $108$ .

$\frac{52}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.16

Умножим $- 8$ на $4$ .

$\frac{52}{3} - 32 + 8 \cdot 2$

Этап 3.12.4.17

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{52}{3} - 32 + 16$

Этап 3.12.4.18

Добавим $- 32$ и $16$ .

$\frac{52}{3} - 16$

Этап 3.12.4.19

Чтобы записать $- 16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.12.4.20

Объединим $- 16$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

Этап 3.12.4.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{52 - 16 \cdot 3}{3}$

Этап 3.12.4.22

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.4.22.1

Умножим $- 16$ на $3$ .

$\frac{52 - 48}{3}$

Этап 3.12.4.22.2

Вычтем $48$ из $52$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 4