Математический анализ Примеры

$y = x^{2}$ , $y = 4 x - x^{2}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} = 4 x - x^{2}$

Этап 1.2

Решим $x^{2} = 4 x - x^{2}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x - x^{2} = x^{2}$

Этап 1.2.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 x - x^{2} - x^{2} = 0$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$4 x - 2 x^{2} = 0$

Этап 1.2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$4 u - 2 u^{2} = 0$

Этап 1.2.3.2

Вынесем множитель $2 u$ из $4 u - 2 u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Вынесем множитель $2 u$ из $4 u$ .

$2 u (2) - 2 u^{2} = 0$

Этап 1.2.3.2.2

Вынесем множитель $2 u$ из $- 2 u^{2}$ .

$2 u (2) + 2 u (- u) = 0$

Этап 1.2.3.2.3

Вынесем множитель $2 u$ из $2 u (2) + 2 u (- u)$ .

$2 u (2 - u) = 0$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$2 x (2 - x) = 0$

Этап 1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0 + y = 4 x - x^{2}$

Этап 1.2.5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.6

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 1.2.6.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 1.2.6.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.2.6.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.2.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (2 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 4 (0) - {(0)}^{2}$

Этап 1.3.2

Подставим $0$ вместо $x$ в $y = 4 (0) - {(0)}^{2}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 4 (0) - 0^{2}$

Этап 1.3.2.2

Упростим $4 (0) - 0^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$y = 0 - 0^{2}$

Этап 1.3.2.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 0$

Этап 1.3.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 0 + 0$

Этап 1.3.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = 4 (2) - {(2)}^{2}$

Этап 1.4.2

Подставим $2$ вместо $x$ в $y = 4 (2) - {(2)}^{2}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 4 (2) - 2^{2}$

Этап 1.4.2.2

Упростим $4 (2) - 2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Умножим $4$ на $2$ .

$y = 8 - 2^{2}$

Этап 1.4.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = 8 - 1 \cdot 4$

Этап 1.4.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = 8 - 4$

Этап 1.4.2.2.2

Вычтем $4$ из $8$ .

$y = 4$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(2, 4)$

$(0, 0)$

$(2, 4)$

Этап 2

Изменим порядок $4 x$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{2} - x^{2} + 4 x d x - \int_{0}^{2} x^{2} d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{2} - x^{2} + 4 x - (x^{2}) d x$

Этап 4.2

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\int_{0}^{2} - 2 x^{2} + 4 x d x$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 x d x$

Этап 4.4

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 2 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 x d x$

Этап 4.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 x d x$

Этап 4.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 x d x$

Этап 4.7

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 \int_{0}^{2} x d x$

Этап 4.8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2})$

Этап 4.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Этап 4.9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$- 2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Этап 4.9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$- 2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - 0) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 2 (\frac{8}{3} + 0) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.5

Добавим $\frac{8}{3}$ и $0$ .

$- 2 (\frac{8}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.6

Объединим $- 2$ и $\frac{8}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{3} + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.7

Умножим $- 2$ на $8$ .

$\frac{- 16}{3} + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.10

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.10.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{0}{2})$

Этап 4.9.2.3.12

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 4.9.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 4.9.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 4.9.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{0}{1})$

Этап 4.9.2.3.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - 0)$

Этап 4.9.2.3.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 + 0)$

Этап 4.9.2.3.14

Добавим $2$ и $0$ .

$- \frac{16}{3} + 4 \cdot 2$

Этап 4.9.2.3.15

Умножим $4$ на $2$ .

$- \frac{16}{3} + 8$

Этап 4.9.2.3.16

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.9.2.3.17

Объединим $8$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

Этап 4.9.2.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 16 + 8 \cdot 3}{3}$

Этап 4.9.2.3.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.19.1

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{- 16 + 24}{3}$

Этап 4.9.2.3.19.2

Добавим $- 16$ и $24$ .

$\frac{8}{3}$

Этап 5