Математический анализ Примеры

$y = x^{\frac{9}{8}}$ , $y = 7 x^{\frac{1}{8}}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{\frac{9}{8}} = 7 x^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.2

Решим $x^{\frac{9}{8}} = 7 x^{\frac{1}{8}}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Исключим дробные показатели степени, умножив и тот, и другой на НОЗ.

${(x^{\frac{9}{8}})}^{8} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{9}{8}})}^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{9}{8} \cdot 8} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{9}{8} \cdot 8} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Этап 1.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{9} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Этап 1.2.3

Упростим ${(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Применим правило умножения к $7 x^{\frac{1}{8}}$ .

$x^{9} = 7^{8} {(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Этап 1.2.3.2

Возведем $7$ в степень $8$ .

$x^{9} = 5764801 {(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Этап 1.2.3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{9} = 5764801 x^{\frac{1}{8} \cdot 8}$

Этап 1.2.3.3.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{9} = 5764801 x^{\frac{1}{8} \cdot 8}$

Этап 1.2.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{9} = 5764801 x^{1}$

Этап 1.2.3.4

Упростим.

$x^{9} = 5764801 x$

Этап 1.2.4

Вычтем $5764801 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{9} - 5764801 x = 0$

Этап 1.2.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{9} - 5764801 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{9}$ .

$x \cdot x^{8} - 5764801 x = 0$

Этап 1.2.5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5764801 x$ .

$x \cdot x^{8} + x \cdot - 5764801 = 0$

Этап 1.2.5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{8} + x \cdot - 5764801$ .

$x (x^{8} - 5764801) = 0$

Этап 1.2.5.2

Перепишем $x^{8}$ в виде ${(x^{4})}^{2}$ .

$x ({(x^{4})}^{2} - 5764801) = 0$

Этап 1.2.5.3

Перепишем $5764801$ в виде $2401^{2}$ .

$x ({(x^{4})}^{2} - 2401^{2}) = 0$

Этап 1.2.5.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{4}$ и $b = 2401$ .

$x ((x^{4} + 2401) (x^{4} - 2401)) = 0$

Этап 1.2.5.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.5.1.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ((x^{4} + 2401) ({(x^{2})}^{2} - 2401)) = 0$

Этап 1.2.5.5.1.2

Перепишем $2401$ в виде $49^{2}$ .

$x ((x^{4} + 2401) ({(x^{2})}^{2} - 49^{2})) = 0$

Этап 1.2.5.5.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 49$ .

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) (x^{2} - 49))) = 0$

Этап 1.2.5.5.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.5.1.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.5.1.4.1.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) (x^{2} - 7^{2}))) = 0$

Этап 1.2.5.5.1.4.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.5.1.4.1.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 7$ .

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) ((x + 7) (x - 7)))) = 0$

Этап 1.2.5.5.1.4.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7))) = 0$

Этап 1.2.5.5.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x ((x^{4} + 2401) (x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7)) = 0$

Этап 1.2.5.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x^{4} + 2401) (x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7) = 0$

Этап 1.2.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{4} + 2401 = 0$

$x^{2} + 49 = 0$

$x + 7 = 0$

$x - 7 = 0 + y = 7 x^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.2.7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.8

Приравняем $x^{4} + 2401$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Приравняем $x^{4} + 2401$ к $0$ .

$x^{4} + 2401 = 0$

Этап 1.2.8.2

Решим $x^{4} + 2401 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Вычтем $2401$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} = - 2401$

Этап 1.2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{- 2401}$

Этап 1.2.8.2.3

Упростим $\pm \sqrt[4]{- 2401}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.3.1

Перепишем $- 2401$ в виде $7^{4} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.3.1.1

Вынесем множитель $2401$ из $- 2401$ .

$x = \pm \sqrt[4]{2401 (- 1)}$

Этап 1.2.8.2.3.1.2

Перепишем $2401$ в виде $7^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{7^{4} \cdot - 1}$

Этап 1.2.8.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 7 \sqrt[4]{- 1}$

Этап 1.2.8.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 7 \sqrt[4]{- 1}$

Этап 1.2.8.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$

Этап 1.2.8.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 7 \sqrt[4]{- 1}, - 7 \sqrt[4]{- 1}$

Этап 1.2.9

Приравняем $x^{2} + 49$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Приравняем $x^{2} + 49$ к $0$ .

$x^{2} + 49 = 0$

Этап 1.2.9.2

Решим $x^{2} + 49 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1

Вычтем $49$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 49$

Этап 1.2.9.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

Этап 1.2.9.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 49}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.3.1

Перепишем $- 49$ в виде $- 1 (49)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

Этап 1.2.9.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (49)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Этап 1.2.9.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

Этап 1.2.9.2.3.4

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Этап 1.2.9.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 7$

Этап 1.2.9.2.3.6

Перенесем $7$ влево от $i$ .

$x = \pm 7 i$

Этап 1.2.9.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 7 i$

Этап 1.2.9.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 7 i$

Этап 1.2.9.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 7 i, - 7 i$

Этап 1.2.10

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 1.2.10.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 1.2.11

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 1.2.11.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 1.2.12

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x^{4} + 2401) (x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7) = 0$ верно.

$x = 0, 7 \sqrt[4]{- 1}, - 7 \sqrt[4]{- 1}, 7 i, - 7 i, - 7, 7$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 7 {(0)}^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.3.2

Подставим $0$ вместо $x$ в $y = 7 {(0)}^{\frac{1}{8}}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 7 \cdot 0^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.3.2.2

Упростим $7 \cdot 0^{\frac{1}{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{8}$ .

$y = 7 \cdot {(0^{8})}^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.3.2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 7 \cdot 0^{8 (\frac{1}{8})}$

Этап 1.3.2.2.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y = 7 \cdot 0^{8 (\frac{1}{8})}$

Этап 1.3.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y = 7 \cdot 0^{1}$

Этап 1.3.2.2.3

Найдем экспоненту.

$y = 7 \cdot 0$

Этап 1.3.2.2.4

Умножим $7$ на $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 7 \sqrt[4]{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $7 \sqrt[4]{- 1}$ вместо $x$ .

$y = 7 {(7 \sqrt[4]{- 1})}^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.4.2

Упростим $7 {(7 \sqrt[4]{- 1})}^{\frac{1}{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Применим правило умножения к $7 \sqrt[4]{- 1}$ .

$y = 7 (7^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}})$

Этап 1.4.2.2

Умножим $7$ на $7^{\frac{1}{8}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Перенесем $7^{\frac{1}{8}}$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7 {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.4.2.2.2

Умножим $7^{\frac{1}{8}}$ на $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.2.1

Возведем $7$ в степень $1$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7^{1} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.4.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = 7^{\frac{1}{8} + 1} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.4.2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = 7^{\frac{1}{8} + \frac{8}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.4.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 7^{\frac{1 + 8}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.4.2.2.5

Добавим $1$ и $8$ .

$y = 7^{\frac{9}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.5

Вычислим $y$ , когда $x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подставим $- 7 \sqrt[4]{- 1}$ вместо $x$ .

$y = 7 {(- 7 \sqrt[4]{- 1})}^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.5.2

Применим правило умножения к $- 7 \sqrt[4]{- 1}$ .

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.6

Вычислим $y$ , когда $x = 7 i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Подставим $7 i$ вместо $x$ .

$y = 7 {(7 i)}^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.6.2

Упростим $7 {(7 i)}^{\frac{1}{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Применим правило умножения к $7 i$ .

$y = 7 (7^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}})$

Этап 1.6.2.2

Умножим $7$ на $7^{\frac{1}{8}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.2.1

Перенесем $7^{\frac{1}{8}}$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7 i^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.6.2.2.2

Умножим $7^{\frac{1}{8}}$ на $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.2.2.1

Возведем $7$ в степень $1$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7^{1} i^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.6.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = 7^{\frac{1}{8} + 1} i^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.6.2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = 7^{\frac{1}{8} + \frac{8}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.6.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 7^{\frac{1 + 8}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.6.2.2.5

Добавим $1$ и $8$ .

$y = 7^{\frac{9}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.7

Вычислим $y$ , когда $x = - 7 i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Подставим $- 7 i$ вместо $x$ .

$y = 7 {(- 7 i)}^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.7.2

Применим правило умножения к $- 7 i$ .

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.8

Подставим $- 7$ вместо $x$ .

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.9

Вычислим $y$ , когда $x = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Подставим $7$ вместо $x$ .

$y = 7 {(7)}^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.9.2

Подставим $7$ вместо $x$ в $y = 7 {(7)}^{\frac{1}{8}}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 7 \cdot 7^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.9.2.2

Умножим $7$ на $7^{\frac{1}{8}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.2.1

Умножим $7$ на $7^{\frac{1}{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.2.1.1

Возведем $7$ в степень $1$ .

$y = 7^{1} \cdot 7^{\frac{1}{8}}$

Этап 1.9.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = 7^{1 + \frac{1}{8}}$

Этап 1.9.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = 7^{\frac{8}{8} + \frac{1}{8}}$

Этап 1.9.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 7^{\frac{8 + 1}{8}}$

Этап 1.9.2.2.4

Добавим $8$ и $1$ .

$y = 7^{\frac{9}{8}}$

Этап 1.10

Перечислим все решения.

$y = 0, x = 0$

$y = 7^{\frac{9}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7^{\frac{9}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = - 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}}, x = - 7$

$y = 7^{\frac{9}{8}}, x = 7$

$y = 0, x = 0$

$y = 7^{\frac{9}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7^{\frac{9}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = - 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}}, x = - 7$

$y = 7^{\frac{9}{8}}, x = 7$

Этап 2

Область между данными кривыми не ограничена.

Неограниченная область

Этап 3