Математический анализ Примеры

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=4x-1}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим дроби.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 4x-1}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[4x\right]+\frac{d}{dx}[-1]}$.

Поскольку ${\displaystyle 4}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 4x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 4\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle 4}$ на ${\displaystyle 1}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -1}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Упростим члены.

Сократим общие множители.

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=4x-1}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle {(4x-1)}^{-\frac{3}{2}}}$ и ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Упростим выражение.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{2{(4x-1)}^{\frac{3}{2}}}}$ и ${\displaystyle -2}$.

Вынесем множитель ${\displaystyle 2}$ из ${\displaystyle -2}$.

Сократим общие множители.

Вынесем знак минуса перед дробью.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 4x-1}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[4x\right]+\frac{d}{dx}[-1]}$.

Поскольку ${\displaystyle 4}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 4x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 4\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle 4}$ на ${\displaystyle 1}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -1}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Объединим дроби.

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-\frac{3}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=4x-1}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle {(4x-1)}^{-\frac{5}{2}}}$ и ${\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Упростим выражение.

Объединим ${\displaystyle \frac{3}{2{(4x-1)}^{\frac{5}{2}}}}$ и ${\displaystyle 4}$.

Умножим ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle 4}$.

Вынесем множитель ${\displaystyle 2}$ из ${\displaystyle 12}$.

Сократим общие множители.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 4x-1}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[4x\right]+\frac{d}{dx}[-1]}$.

Поскольку ${\displaystyle 4}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 4x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 4\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle 4}$ на ${\displaystyle 1}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -1}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Объединим дроби.

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-\frac{5}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=4x-1}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle {(4x-1)}^{-\frac{7}{2}}}$ и ${\displaystyle \frac{5}{2}}$.

Упростим выражение.

Объединим ${\displaystyle \frac{5}{2{(4x-1)}^{\frac{7}{2}}}}$ и ${\displaystyle -24}$.

Умножим ${\displaystyle 5}$ на ${\displaystyle -24}$.

Вынесем множитель ${\displaystyle 2}$ из ${\displaystyle -120}$.

Сократим общие множители.