Математический анализ Примеры

$y = {(x - 1)}^{3}$ , $y = x - 1$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

${(x - 1)}^{3} = x - 1$

Этап 1.2

Решим ${(x - 1)}^{3} = x - 1$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

${(x - 1)}^{3} - x = - 1$

Этап 1.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - x = - 1$

Этап 1.2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - x = - 1$

Этап 1.2.1.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3} - x = - 1$

Этап 1.2.1.2.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3} - x = - 1$

Этап 1.2.1.2.2.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x = - 1$

Этап 1.2.1.3

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 = - 1$

Этап 1.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 + 1 = 0$

Этап 1.2.3

Объединим противоположные члены в $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 0 = 0$

Этап 1.2.3.2

Добавим $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ и $0$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Этап 1.2.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Этап 1.2.4.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + 2 x = 0$

Этап 1.2.4.1.3

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot 2 = 0$

Этап 1.2.4.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 3 x)$ .

$x (x^{2} - 3 x) + x \cdot 2 = 0$

Этап 1.2.4.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 3 x) + x \cdot 2$ .

$x (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Этап 1.2.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Разложим $x^{2} - 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1 + y = x - 1$

Этап 1.2.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Этап 1.2.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x - 2) (x - 1) = 0$

Этап 1.2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0 + y = x - 1$

Этап 1.2.6

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.7

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.2.8

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.8.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 2) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, 2, 1$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = (0) - 1$

Этап 1.3.2

Подставим $0$ вместо $x$ в $y = (0) - 1$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0 - 1$

Этап 1.3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (0) - 1$

Этап 1.3.2.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$y = - 1$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = (2) - 1$

Этап 1.4.2

Подставим $2$ вместо $x$ в $y = (2) - 1$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 - 1$

Этап 1.4.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (2) - 1$

Этап 1.4.2.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$y = 1$

Этап 1.5

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = (1) - 1$

Этап 1.5.2

Подставим $1$ вместо $x$ в $y = (1) - 1$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 1 - 1$

Этап 1.5.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (1) - 1$

Этап 1.5.2.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$y = 0$

Этап 1.6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, - 1)$

$(2, 1)$

$(1, 0)$

$(0, - 1)$

$(2, 1)$

$(1, 0)$

Этап 2

Упростим ${(x - 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Этап 2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3}$

Этап 2.2.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{1} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 d x - \int_{0}^{1} x - 1 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{1} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - (x - 1) d x$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x - - 1$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x + 1$

$\int_{0}^{1} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x + 1 d x$

Этап 4.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим противоположные члены в $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - x + 0$

Этап 4.3.1.2

Добавим $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - x$ и $0$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - x$

Этап 4.3.2

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$

$\int_{0}^{1} x^{3} - 3 x^{2} + 2 x d x$

Этап 4.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Этап 4.5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Этап 4.6

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Этап 4.7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Этап 4.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Этап 4.9

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 \int_{0}^{1} x d x$

Этап 4.10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Этап 4.11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 4.11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 4.11.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 4.11.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + 0 - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.6

Добавим $\frac{1}{4}$ и $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.9

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.4.9.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.4.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - 0) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} + 0) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.11

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.12

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 3}{3} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.13

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.4.13.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.4.13.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.13.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{4} - 1 + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.14

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.15

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 1 \cdot 4}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.4.17.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{1 - 4}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.17.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{- 3}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.19

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.11.2.4.20

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 4.11.2.4.21

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.4.21.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 4.11.2.4.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.4.21.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 4.11.2.4.21.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 4.11.2.4.21.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 4.11.2.4.21.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - 0)$

Этап 4.11.2.4.22

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} + 0)$

Этап 4.11.2.4.23

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2})$

Этап 4.11.2.4.24

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{2}{2}$

Этап 4.11.2.4.25

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.4.25.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{4} + \frac{2}{2}$

Этап 4.11.2.4.25.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{4} + 1$

Этап 4.11.2.4.26

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{3}{4} + \frac{4}{4}$

Этап 4.11.2.4.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 + 4}{4}$

Этап 4.11.2.4.28

Добавим $- 3$ и $4$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 5

$A r e a = \int_{1}^{2} x - 1 d x - \int_{1}^{2} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 d x$

Этап 6

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{2} x - 1 - (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) d x$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 1 - x^{3} - (- 3 x^{2}) - (3 x) - - 1$

Этап 6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - (3 x) - - 1$

Этап 6.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - - 1$

Этап 6.2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$

$\int_{1}^{2} x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1 d x$

Этап 6.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим противоположные члены в $x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$x - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 0$

Этап 6.3.1.2

Добавим $x - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x$ и $0$ .

$x - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x$

Этап 6.3.2

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$- x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$

$\int_{1}^{2} - x^{3} + 3 x^{2} - 2 x d x$

Этап 6.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} - x^{3} d x + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Этап 6.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{2} x^{3} d x + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Этап 6.6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Этап 6.7

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Этап 6.8

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Этап 6.9

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Этап 6.10

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Этап 6.11

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x d x$

Этап 6.12

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2})$

Этап 6.13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Этап 6.13.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $2$ и в $1$ .

$- ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Этап 6.13.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $1$ .

$- (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Этап 6.13.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $1$ .

$- (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.4.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$- (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.2

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$- (4 - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$- (4 - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.4

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.5

Объединим $4$ и $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.4.7.1

Умножим $4$ на $4$ .

$- \frac{16 - 1}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.7.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.8

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.9

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{15}{4} + 3 \frac{8 - 1}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.11

Вычтем $1$ из $8$ .

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{7}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.12

Объединим $3$ и $\frac{7}{3}$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.13

Умножим $3$ на $7$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{21}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.14

Сократим общий множитель $21$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.4.14.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.4.14.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3 (1)} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.14.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.14.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{15}{4} + \frac{7}{1} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.14.2.4

Разделим $7$ на $1$ .

$- \frac{15}{4} + 7 - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.15

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} + 7 \cdot \frac{4}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.16

Объединим $7$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 15 + 7 \cdot 4}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.4.18.1

Умножим $7$ на $4$ .

$\frac{- 15 + 28}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.18.2

Добавим $- 15$ и $28$ .

$\frac{13}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.19

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.20

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.4.20.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.4.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.20.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.20.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.20.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{13}{4} - 2 (2 - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 6.13.2.4.21

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{13}{4} - 2 (2 - \frac{1}{2})$

Этап 6.13.2.4.22

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{4} - 2 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 6.13.2.4.23

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 6.13.2.4.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{13}{4} - 2 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 6.13.2.4.25

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.4.25.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{13}{4} - 2 \frac{4 - 1}{2}$

Этап 6.13.2.4.25.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{3}{2})$

Этап 6.13.2.4.26

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{13}{4} + \frac{- 2 \cdot 3}{2}$

Этап 6.13.2.4.27

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{13}{4} + \frac{- 6}{2}$

Этап 6.13.2.4.28

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.4.28.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{13}{4} + \frac{2 \cdot - 3}{2}$

Этап 6.13.2.4.28.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.4.28.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{13}{4} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Этап 6.13.2.4.28.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{13}{4} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Этап 6.13.2.4.28.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{13}{4} + \frac{- 3}{1}$

Этап 6.13.2.4.28.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$\frac{13}{4} - 3$

Этап 6.13.2.4.29

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{13}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 6.13.2.4.30

Объединим $- 3$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{13}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Этап 6.13.2.4.31

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{13 - 3 \cdot 4}{4}$

Этап 6.13.2.4.32

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.4.32.1

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\frac{13 - 12}{4}$

Этап 6.13.2.4.32.2

Вычтем $12$ из $13$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 7

Сложим площади $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 1}{4}$

Этап 7.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{4}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Этап 7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 8