Математический анализ Примеры

$x = - 2$ , $x = 3$ , $y = 2 x^{2} + 10$ , $y = 0$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$2 x^{2} + 10 = 0$

Этап 1.2

Решим $2 x^{2} + 10 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} = - 10$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $2 x^{2} = - 10$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = - 10$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 10}{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 10}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 10}{2}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $- 10$ на $2$ .

$x^{2} = - 5$

Этап 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Этап 1.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Этап 1.2.4.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (5)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Этап 1.2.4.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Этап 1.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{5}$

Этап 1.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{5}$

Этап 1.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Этап 1.3

Подставим $i \sqrt{5}$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Перечислим все решения.

$y = 0, x = i \sqrt{5}$

$y = 0, x = - i \sqrt{5}$

$y = 0, x = i \sqrt{5}$

$y = 0, x = - i \sqrt{5}$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 2}^{3} 2 x^{2} + 10 d x - \int_{- 2}^{3} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 2$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 2}^{3} 2 x^{2} + 10 - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $2 x^{2} + 10$ .

$\int_{- 2}^{3} 2 x^{2} + 10 d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} 10 d x$

Этап 3.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{- 2}^{3} x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} 10 d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} 10 d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} 10 d x$

Этап 3.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + 10 x]_{- 2}^{3}$

Этап 3.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $- 2$ .

$2 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 10 x]_{- 2}^{3}$

Этап 3.8.2

Найдем значение $10 x$ в $3$ и в $- 2$ .

$2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 10 \cdot 3 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$2 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 10 \cdot 3 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$2 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 10 \cdot 3 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 10 \cdot 3 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 10 \cdot 3 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 10 \cdot 3 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$2 (9 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 10 \cdot 3 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$2 (9 - \frac{- 8}{3}) + 10 \cdot 3 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (9 - - \frac{8}{3}) + 10 \cdot 3 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (9 + 1 (\frac{8}{3})) + 10 \cdot 3 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3.6

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$2 (9 + \frac{8}{3}) + 10 \cdot 3 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3.7

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}) + 10 \cdot 3 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3.8

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}) + 10 \cdot 3 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{9 \cdot 3 + 8}{3} + 10 \cdot 3 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.10.1

Умножим $9$ на $3$ .

$2 \frac{27 + 8}{3} + 10 \cdot 3 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3.10.2

Добавим $27$ и $8$ .

$2 (\frac{35}{3}) + 10 \cdot 3 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3.11

Объединим $2$ и $\frac{35}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 35}{3} + 10 \cdot 3 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3.12

Умножим $2$ на $35$ .

$\frac{70}{3} + 10 \cdot 3 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3.13

Умножим $10$ на $3$ .

$\frac{70}{3} + 30 - 10 \cdot - 2$

Этап 3.8.3.14

Умножим $- 10$ на $- 2$ .

$\frac{70}{3} + 30 + 20$

Этап 3.8.3.15

Добавим $30$ и $20$ .

$\frac{70}{3} + 50$

Этап 3.8.3.16

Чтобы записать $50$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{70}{3} + 50 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.8.3.17

Объединим $50$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{70}{3} + \frac{50 \cdot 3}{3}$

Этап 3.8.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{70 + 50 \cdot 3}{3}$

Этап 3.8.3.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.19.1

Умножим $50$ на $3$ .

$\frac{70 + 150}{3}$

Этап 3.8.3.19.2

Добавим $70$ и $150$ .

$\frac{220}{3}$

Этап 4