Математический анализ Примеры

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = 5$

Этап 1

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = 5 \cdot 2$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = 5 \cdot 2$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{x} + e^{- x} = 5 \cdot 2$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $5$ на $2$ .

$e^{x} + e^{- x} = 10$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $e^{- x}$ в виде степенного выражения.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 10$

Этап 3.2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 10$

Этап 3.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 10$

Этап 3.4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1$

Этап 3.4.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 3.4.2

Каждый член в $u + \frac{1}{u} = 10$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим каждый член $u + \frac{1}{u} = 10$ на $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 10 u$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 10 u$

Этап 3.4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 10 u$

Этап 3.4.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{2} + 1 = 10 u$

Этап 3.4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вычтем $10 u$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} + 1 - 10 u = 0$

Этап 3.4.3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4.3.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 10$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.4.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$u = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.1.3

Вычтем $4$ из $100$ .

$u = \frac{10 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.1.4

Перепишем $96$ в виде $4^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.4.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $96$ .

$u = \frac{10 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$u = \frac{10 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{10 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{10 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$

Этап 3.4.3.4.3

Упростим $\frac{10 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$ .

$u = 5 \pm 2 \sqrt{6}$

Этап 3.4.3.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = 5 + 2 \sqrt{6}, 5 - 2 \sqrt{6}$

Этап 3.5

Подставим $5 + 2 \sqrt{6}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$5 + 2 \sqrt{6} = e^{x}$

Этап 3.6

Решим $5 + 2 \sqrt{6} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 5 + 2 \sqrt{6}$ .

$e^{x} = 5 + 2 \sqrt{6}$

Этап 3.6.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (5 + 2 \sqrt{6})$

Этап 3.6.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (5 + 2 \sqrt{6})$

Этап 3.6.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5 + 2 \sqrt{6})$

Этап 3.6.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (5 + 2 \sqrt{6})$

Этап 3.7

Подставим $5 - 2 \sqrt{6}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$5 - 2 \sqrt{6} = e^{x}$

Этап 3.8

Решим $5 - 2 \sqrt{6} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 5 - 2 \sqrt{6}$ .

$e^{x} = 5 - 2 \sqrt{6}$

Этап 3.8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (5 - 2 \sqrt{6})$

Этап 3.8.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (5 - 2 \sqrt{6})$

Этап 3.8.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5 - 2 \sqrt{6})$

Этап 3.8.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (5 - 2 \sqrt{6})$

Этап 3.9

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (5 + 2 \sqrt{6}), \ln (5 - 2 \sqrt{6})$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (5 + 2 \sqrt{6}), \ln (5 - 2 \sqrt{6})$

Десятичная форма:

$x = 2.29243166 \dots, - 2.29243166 \dots$