Математический анализ Примеры

$f x = \sqrt[3]{x}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{x} = f x$ .

$\sqrt[3]{x} = f x$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(f x)}^{3}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(f x)}^{3}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(f x)}^{3}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(f x)}^{3}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(f x)}^{3}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x = {(f x)}^{3}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило умножения к $f x$ .

$x = f^{3} x^{3}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $f^{3} x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$x - f^{3} x^{3} = 0$

Этап 4.2

Вынесем множитель $x$ из $x - f^{3} x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - f^{3} x^{3} = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- f^{3} x^{3}$ .

$x \cdot 1 + x (- f^{3} x^{2}) = 0$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- f^{3} x^{2})$ .

$x (1 - f^{3} x^{2}) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$1 - f^{3} x^{2} = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.5

Приравняем $1 - f^{3} x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $1 - f^{3} x^{2}$ к $0$ .

$1 - f^{3} x^{2} = 0$

Этап 4.5.2

Решим $1 - f^{3} x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- f^{3} x^{2} = - 1$

Этап 4.5.2.2

Разделим каждый член $- f^{3} x^{2} = - 1$ на $- f^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разделим каждый член $- f^{3} x^{2} = - 1$ на $- f^{3}$ .

$\frac{- f^{3} x^{2}}{- f^{3}} = \frac{- 1}{- f^{3}}$

Этап 4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{f^{3} x^{2}}{f^{3}} = \frac{- 1}{- f^{3}}$

Этап 4.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель $f^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{f^{3} x^{2}}{f^{3}} = \frac{- 1}{- f^{3}}$

Этап 4.5.2.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- f^{3}}$

Этап 4.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{2} = \frac{1}{f^{3}}$

Этап 4.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{f^{3}}}$

Этап 4.5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{f^{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.1

Перепишем $\frac{1}{f^{3}}$ в виде ${(\frac{1}{f})}^{2} \frac{1}{f}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.1.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \cdot 1}{f^{3}}}$

Этап 4.5.2.4.1.2

Вынесем полную степень $f^{2}$ из $f^{3}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \cdot 1}{f^{2} f}}$

Этап 4.5.2.4.1.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} \cdot 1}{f^{2} f}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{f})}^{2} \frac{1}{f}}$

Этап 4.5.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{1}{f} \sqrt{\frac{1}{f}}$

Этап 4.5.2.4.3

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{f}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{f}}$ .

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{f}}$

Этап 4.5.2.4.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{1}{\sqrt{f}}$

Этап 4.5.2.4.5

Умножим $\frac{1}{\sqrt{f}}$ на $\frac{\sqrt{f}}{\sqrt{f}}$ .

$x = \pm \frac{1}{f} (\frac{1}{\sqrt{f}} \cdot \frac{\sqrt{f}}{\sqrt{f}})$

Этап 4.5.2.4.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.6.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{f}}$ на $\frac{\sqrt{f}}{\sqrt{f}}$ .

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{\sqrt{f} \sqrt{f}}$

Этап 4.5.2.4.6.2

Возведем $\sqrt{f}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{{\sqrt{f}}^{1} \sqrt{f}}$

Этап 4.5.2.4.6.3

Возведем $\sqrt{f}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{{\sqrt{f}}^{1} {\sqrt{f}}^{1}}$

Этап 4.5.2.4.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{{\sqrt{f}}^{1 + 1}}$

Этап 4.5.2.4.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{{\sqrt{f}}^{2}}$

Этап 4.5.2.4.6.6

Перепишем ${\sqrt{f}}^{2}$ в виде $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{f}$ в виде $f^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{{(f^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.5.2.4.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{f^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.5.2.4.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{f^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.5.2.4.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{f^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.5.2.4.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{f^{1}}$

Этап 4.5.2.4.6.6.5

Упростим.

$x = \pm \frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{f}$

Этап 4.5.2.4.7

Умножим $\frac{1}{f} \cdot \frac{\sqrt{f}}{f}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.7.1

Умножим $\frac{1}{f}$ на $\frac{\sqrt{f}}{f}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{f}}{f \cdot f}$

Этап 4.5.2.4.7.2

Возведем $f$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{f}}{f^{1} f}$

Этап 4.5.2.4.7.3

Возведем $f$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{f}}{f^{1} f^{1}}$

Этап 4.5.2.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{f}}{f^{1 + 1}}$

Этап 4.5.2.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

Этап 4.5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

Этап 4.5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

Этап 4.5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = - \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = - \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = - \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = - \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (1 - f^{3} x^{2}) = 0$ верно.

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = - \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$

$x = - \frac{\sqrt{f}}{f^{2}}$