Математический анализ Примеры

$\frac{3}{| 5 - 2 x |} < 2$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$\frac{3}{| 5 - 2 x |} - 2 < 0$

Этап 2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{| 5 - 2 x |}{| 5 - 2 x |}$ .

$\frac{3}{| 5 - 2 x |} - 2 \cdot \frac{| 5 - 2 x |}{| 5 - 2 x |} < 0$

Этап 3

Объединим $- 2$ и $\frac{| 5 - 2 x |}{| 5 - 2 x |}$ .

$\frac{3}{| 5 - 2 x |} + \frac{- 2 | 5 - 2 x |}{| 5 - 2 x |} < 0$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - 2 | 5 - 2 x |}{| 5 - 2 x |} < 0$

Этап 5

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$3 - 2 | 5 - 2 x | = 0$

$| 5 - 2 x | = 0$

Этап 6

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 2 | 5 - 2 x | = - 3$

Этап 7

Разделим каждый член $- 2 | 5 - 2 x | = - 3$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $- 2 | 5 - 2 x | = - 3$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 | 5 - 2 x |}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 | 5 - 2 x |}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $| 5 - 2 x |$ на $1$ .

$| 5 - 2 x | = \frac{- 3}{- 2}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$| 5 - 2 x | = \frac{3}{2}$

Этап 8

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$5 - 2 x = \pm \frac{3}{2}$

Этап 9

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$5 - 2 x = \frac{3}{2}$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = \frac{3}{2} - 5$

Этап 9.2.2

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 2 x = \frac{3}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 9.2.3

Объединим $- 5$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 2 x = \frac{3}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}$

Этап 9.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 x = \frac{3 - 5 \cdot 2}{2}$

Этап 9.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$- 2 x = \frac{3 - 10}{2}$

Этап 9.2.5.2

Вычтем $10$ из $3$ .

$- 2 x = \frac{- 7}{2}$

Этап 9.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 x = - \frac{7}{2}$

Этап 9.3

Разделим каждый член $- 2 x = - \frac{7}{2}$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Разделим каждый член $- 2 x = - \frac{7}{2}$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- \frac{7}{2}}{- 2}$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- \frac{7}{2}}{- 2}$

Этап 9.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{7}{2}}{- 2}$

Этап 9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Этап 9.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7}{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 9.3.3.3

Умножим $- \frac{7}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 (\frac{7}{2}) \frac{1}{2}$

Этап 9.3.3.3.2

Умножим $\frac{7}{2}$ на $1$ .

$x = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 9.3.3.3.3

Умножим $\frac{7}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7}{2 \cdot 2}$

Этап 9.3.3.3.4

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{7}{4}$

Этап 9.4

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$5 - 2 x = - \frac{3}{2}$

Этап 9.5

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - \frac{3}{2} - 5$

Этап 9.5.2

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 2 x = - \frac{3}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 9.5.3

Объединим $- 5$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 2 x = - \frac{3}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}$

Этап 9.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 x = \frac{- 3 - 5 \cdot 2}{2}$

Этап 9.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.5.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$- 2 x = \frac{- 3 - 10}{2}$

Этап 9.5.5.2

Вычтем $10$ из $- 3$ .

$- 2 x = \frac{- 13}{2}$

Этап 9.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 x = - \frac{13}{2}$

Этап 9.6

Разделим каждый член $- 2 x = - \frac{13}{2}$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Разделим каждый член $- 2 x = - \frac{13}{2}$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- \frac{13}{2}}{- 2}$

Этап 9.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- \frac{13}{2}}{- 2}$

Этап 9.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{13}{2}}{- 2}$

Этап 9.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{13}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Этап 9.6.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{13}{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 9.6.3.3

Умножим $- \frac{13}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 (\frac{13}{2}) \frac{1}{2}$

Этап 9.6.3.3.2

Умножим $\frac{13}{2}$ на $1$ .

$x = \frac{13}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 9.6.3.3.3

Умножим $\frac{13}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{13}{2 \cdot 2}$

Этап 9.6.3.3.4

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{13}{4}$

Этап 9.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{7}{4}, \frac{13}{4}$

Этап 10

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$5 - 2 x = \pm 0$

Этап 11

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$5 - 2 x = 0$

Этап 12

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 5$

Этап 13

Разделим каждый член $- 2 x = - 5$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 5$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 13.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 13.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 13.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{5}{2}$

Этап 14

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \frac{7}{4}, \frac{13}{4}$

$x = \frac{5}{2}$

Этап 15

Объединим решения.

$x = \frac{7}{4}, \frac{13}{4}, \frac{5}{2}$

Этап 16

Найдем область определения $\frac{3}{| 5 - 2 x |} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Зададим знаменатель в $\frac{3}{| 5 - 2 x |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| 5 - 2 x | = 0$

Этап 16.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$5 - 2 x = \pm 0$

Этап 16.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$5 - 2 x = 0$

Этап 16.2.3

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 5$

Этап 16.2.4

Разделим каждый член $- 2 x = - 5$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 5$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 16.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 16.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 16.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{5}{2}$

Этап 16.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

Этап 17

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{7}{4}$

$\frac{7}{4} < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < \frac{13}{4}$

$x > \frac{13}{4}$

Этап 18

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{7}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{7}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 18.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{3}{| 5 - 2 \cdot 0 |} < 2$

Этап 18.1.3

Левая часть $0.6$ меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 18.2

Проверим значение на интервале $\frac{7}{4} < x < \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{7}{4} < x < \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 18.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{3}{| 5 - 2 \cdot 2 |} < 2$

Этап 18.2.3

Левая часть $3$ не меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 18.3

Проверим значение на интервале $\frac{5}{2} < x < \frac{13}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{5}{2} < x < \frac{13}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 18.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{3}{| 5 - 2 \cdot 3 |} < 2$

Этап 18.3.3

Левая часть $3$ не меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 18.4

Проверим значение на интервале $x > \frac{13}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{13}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 18.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{3}{| 5 - 2 \cdot 6 |} < 2$

Этап 18.4.3

Левая часть $0.\overline{428571}$ меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 18.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{7}{4}$ Истина

$\frac{7}{4} < x < \frac{5}{2}$ Ложь

$\frac{5}{2} < x < \frac{13}{4}$ Ложь

$x > \frac{13}{4}$ Истина

$x < \frac{7}{4}$ Истина

$\frac{7}{4} < x < \frac{5}{2}$ Ложь

$\frac{5}{2} < x < \frac{13}{4}$ Ложь

$x > \frac{13}{4}$ Истина

Этап 19

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < \frac{7}{4}$ или $x > \frac{13}{4}$

Этап 20

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < \frac{7}{4} or x > \frac{13}{4}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{7}{4}) \cup (\frac{13}{4}, \infty)$

Этап 21