Математический анализ Примеры

$\frac{x^{4} - 4}{x^{2} - 5}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{4} - 4$ и $g (x) = x^{2} - 5$ .

$\frac{(x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{4} - 4] - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{(x^{2} - 5) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5) (4 x^{3} + 0) - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5) (4 x^{3}) - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Перенесем $4$ влево от $x^{2} - 5$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - (x^{4} - 4) (2 x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 5) x^{3} - 2 (x^{4} - 4) x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 5) x^{3} - 2 (x^{4} - 4) x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 (x^{4} - 4) x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 5 x^{3} + (- 2 x^{4} - 2 \cdot - 4) x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{2}) + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.5.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{3 + 2} + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.5.1.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot - 5 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $4$ на $- 5$ .

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 x^{4} x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.5.1.3

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 (x \cdot x^{4}) - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.5.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 (x^{1} x^{4}) - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.5.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 x^{1 + 4} - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.5.1.3.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 x^{5} - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.5.1.4

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{3} - 2 x^{5} + 8 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Вычтем $2 x^{5}$ из $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 20 x^{3} + 8 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5} - 20 x^{3} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) - 20 x^{3} + 8 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 20 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2}) + 8 x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.6.3

Вынесем множитель $2 x$ из $8 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2}) + 2 x (4)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.6.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2})$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 10 x^{2}) + 2 x (4)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.6.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4} - 10 x^{2}) + 2 x (4)$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 10 x^{2} + 4)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$