Математический анализ Примеры

$p (t) = \frac{8 t}{{(t + 5)}^{2}}$

Этап 1

Поскольку $8$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{8 t}{{(t + 5)}^{2}}$ по $t$ равна $8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = {(t + 5)}^{2}$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{({(t + 5)}^{2})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${({(t + 5)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{(t + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{(t + 5)}^{4}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{(t + 5)}^{4}}$

Этап 3.3

Умножим ${(t + 5)}^{2}$ на $1$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{2}]}{{(t + 5)}^{4}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = t + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t + 5$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $t + 5$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - t (2 (t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

Этап 5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$8 \frac{{(t + 5)}^{2} - 2 t ((t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $t + 5$ из ${(t + 5)}^{2} - 2 t ((t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $t + 5$ из ${(t + 5)}^{2}$ .

$8 \frac{(t + 5) (t + 5) - 2 t ((t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{4}}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $t + 5$ из $- 2 t ((t + 5) \frac{d}{d t} [t + 5])$ .

$8 \frac{(t + 5) (t + 5) + (t + 5) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))}{{(t + 5)}^{4}}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $t + 5$ из $(t + 5) (t + 5) + (t + 5) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))$ .

$8 \frac{(t + 5) (t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))}{{(t + 5)}^{4}}$

Этап 6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $t + 5$ из ${(t + 5)}^{4}$ .

$8 \frac{(t + 5) (t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$8 \frac{(t + 5) (t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5]))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$8 \frac{t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t + 5])}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 7

По правилу суммы производная $t + 5$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$8 \frac{t + 5 - 2 t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \frac{t + 5 - 2 t (1 + \frac{d}{d t} [5])}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 9

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5$ относительно $t$ равна $0$ .

$8 \frac{t + 5 - 2 t (1 + 0)}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$8 \frac{t + 5 - 2 t \cdot 1}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 10.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$8 \frac{t + 5 - 2 t}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 10.3

Вычтем $2 t$ из $t$ .

$8 \frac{- t + 5}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 10.4

Объединим $8$ и $\frac{- t + 5}{{(t + 5)}^{3}}$ .

$\frac{8 (- t + 5)}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 (- t) + 8 \cdot 5}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{- 8 t + 8 \cdot 5}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 11.2.2

Умножим $8$ на $5$ .

$\frac{- 8 t + 40}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 11.3

Вынесем множитель $8$ из $- 8 t + 40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8 t$ .

$\frac{8 (- t) + 40}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 11.3.2

Вынесем множитель $8$ из $40$ .

$\frac{8 (- t) + 8 (5)}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 11.3.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (- t) + 8 (5)$ .

$\frac{8 (- t + 5)}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 11.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- t$ .

$\frac{8 (- (t) + 5)}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 11.5

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$\frac{8 (- (t) - 1 (- 5))}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 11.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (t) - 1 (- 5)$ .

$\frac{8 (- (t - 5))}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 11.7

Перепишем $- (t - 5)$ в виде $- 1 (t - 5)$ .

$\frac{8 (- 1 (t - 5))}{{(t + 5)}^{3}}$

Этап 11.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 (t - 5)}{{(t + 5)}^{3}}$