Математический анализ Примеры

$2 x - \frac{3 x}{\sqrt{x}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $2 x - \frac{3 x}{\sqrt{x}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 3.2

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}})]$

Этап 3.3

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 (x^{- \frac{1}{2}} x))]$

Этап 3.3.2

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}))]$

Этап 3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x^{- \frac{1}{2} + 1})]$

Этап 3.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}})]$

Этап 3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}})]$

Этап 3.3.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 3.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 3.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 3.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 - 3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.13

Объединим $- 3$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 + \frac{- 3 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.14

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$