Математический анализ Примеры

$\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 6}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 4 - 3 x - x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 6$ .

$\frac{(x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [4 - 3 x - x^{2}] - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 - 3 x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 2.6

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - (2 x)) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 2.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $x^{2} - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 2.12

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 2.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 2.13.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - 2 x) - 2 (4 - 3 x - x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - 2 x) + (- 2 \cdot 4 - 2 (- 3 x) - 2 (- x^{2})) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Развернем $(x^{2} - 6) (- 3 - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (- 3 - 2 x) - 6 (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 2 x) - 6 (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 2 x) - 6 \cdot - 3 - 6 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $- 3$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 6 \cdot - 3 - 6 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{2} x - 6 \cdot - 3 - 6 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) - 6 \cdot - 3 - 6 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) - 6 \cdot - 3 - 6 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{1 + 2} - 6 \cdot - 3 - 6 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} - 6 \cdot - 3 - 6 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.4

Умножим $- 6$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 - 6 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.5

Умножим $- 2$ на $- 6$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x - 2 (- 3 (x \cdot x)) - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x - 2 (- 3 x^{2}) - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- (x^{1} x^{2}))}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{1 + 2})}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{3})}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.1.7

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2} + 2 x^{3}}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Объединим противоположные члены в $- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2} + 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $- 2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2} + 0}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 3 x^{2} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2}}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $- 3 x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 18 + 12 x - 8 x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Вычтем $8 x$ из $12 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 18 + 4 x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{3 x^{2} + 4 x + 18}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$