Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{2} \sin (x) \tan (x)$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2} \sin (x) \tan (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x) \tan (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x) \tan (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} \sin (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)])$

Этап 3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)])$

Этап 4

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Этап 5

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x)) + \tan (x) (\sin (x) (2 x)))$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) (x^{2} \cos (x))) + 4 (\tan (x) (\sin (x) (2 x)))$

Этап 7.3

Умножим $2$ на $4$ .

$4 x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) x^{2} \cos (x) + 8 \tan (x) \sin (x) x$

Этап 7.4

Изменим порядок членов.

$4 x^{2} \sec^{2} (x) \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Этап 7.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$4 x^{2} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Этап 7.5.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 x^{2} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Этап 7.5.3

Единица в любой степени равна единице.

$4 x^{2} \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Этап 7.5.4

Умножим $4 x^{2} \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.4.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$x^{2} \frac{4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Этап 7.5.4.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Этап 7.5.5

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Этап 7.5.6

Объединим $\frac{4 x^{2}}{\cos^{2} (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Этап 7.5.7

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.7.1

Добавим круглые скобки.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} (\cos (x) \tan (x)) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Этап 7.5.7.2

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\tan (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} (\tan (x) \cos (x)) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Этап 7.5.7.3

Выразим $4 x^{2} \cos (x) \tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Этап 7.5.7.4

Сократим общие множители.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Этап 7.5.8

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.5.9

Умножим $8 x \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.9.1

Объединим $8$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + x \sin (x) \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.5.9.2

Объединим $\frac{8 \sin (x)}{\cos (x)}$ и $x$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 \sin (x) x}{\cos (x)} \sin (x)$

Этап 7.5.9.3

Объединим $\frac{8 \sin (x) x}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 \sin (x) x \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.5.9.4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

Этап 7.5.9.5

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)}$

Этап 7.5.9.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Этап 7.5.9.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.6.2

Разделим дроби.

$\frac{4 x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.6.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{4 x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.6.4

Объединим $\frac{4 x^{2}}{\cos (x)}$ и $\tan (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \tan (x)}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.6.5

Разделим дроби.

$\frac{4 x^{2}}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.6.6

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{4 x^{2}}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.6.7

Перепишем $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$\frac{4 x^{2}}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.6.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.8.1

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{4 x^{2}}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.6.8.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{4 x^{2}}{1} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.6.9

Разделим $4 x^{2}$ на $1$ .

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.6.10

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

Этап 7.6.11

Разделим дроби.

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.6.12

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin (x))}{1} \tan (x)$

Этап 7.6.13

Разделим $8 x (\sin (x))$ на $1$ .

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (\sin (x)) \tan (x)$

Этап 7.7

Изменим порядок множителей в $4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (\sin (x)) \tan (x)$ .

$4 x^{2} \tan (x) \sec (x) + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (\sin (x)) \tan (x)$